Плюрісубгармонічна функція

${\displaystyle \ln |f(z)|}$, ${\displaystyle |f(z)|^{p}}$ при ${\displaystyle p\geqslant 0}$, де ${\displaystyle f(z)}$ — голоморфна функція в ${\displaystyle D}$.

• Плюрісубгармонічні функції є субгармонічними, але обернене твердження є вірним лише при ${\displaystyle n=1.}$
• Для того щоб напівнеперервна зверху в області D функція u була плюрісубгармонічною, необхідно і достатньо, щоб для будь-яких фіксованих, ${\displaystyle z,a\in \mathbb {C} ^{n},\;|a|=1}$ існувало число ${\displaystyle \epsilon =\epsilon (z,a)>0}$ таке, що при ${\displaystyle 0<r<\epsilon }$ виконується нерівність:

${\displaystyle u(z)\leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }u(z+r\mathrm {e} ^{i\theta }a)\,d\theta ,}$

• Для функцій ${\displaystyle u(z),}$ що належать класу ${\displaystyle C^{2}(D),\;}$ ${\displaystyle u(z)}$ є плюрігармонічною в D тоді і тільки тоді, коли ермітова форма:

${\displaystyle H_{z,u}(a,{\bar {a}})=\sum _{k,l=1}^{n}{\partial ^{2}u \over \partial z_{k}\partial {\bar {z}}_{l}}a_{k}{\bar {a}}_{l}}$

є невід'ємно означеною для всіх ${\displaystyle z\in D.}$

Крім загальних властивостей субгармонічних функцій, для плюрісубгармонічних функцій справедливі наступні:

• ${\displaystyle u(z)}$ є плюрісубгармонічною функцією в області ${\displaystyle D}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle u(z)}$ — плюрісубгармонічна функція в околі кожної точки ${\displaystyle z\in D}$;
• Лінійна комбінація плюрісубгармонічних функцій з додатними коефіцієнтами є плюрісубгармонічною функцією;
• Границі рівномірно збіжної і монотонно спадної послідовностей плюрісубгармонічних функцій є плюрісубгармонічними;
• Для будь-якої точки ${\displaystyle z_{0}\in D}$ середнє значення

${\displaystyle \oint \limits _{S_{r}(z_{0})}u}$

по сфері радіуса ${\displaystyle r}$, є зростаючою функцією по ${\displaystyle r}$, опуклою щодо ${\displaystyle \ln r}$ на відрізку ${\displaystyle 0<r<R}$, якщо куля ${\displaystyle B_{R}(z_{0})}$ повністю розміщена в ${\displaystyle D}$;

• При голоморфних відображеннях плюрісубгармонічна функція переходить в плюрісубгармонічну;
• Якщо ${\displaystyle u(z)}$ — неперервна плюрісубгармонічна функція в області ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$ — замкнута зв'язана аналітична підмножина ${\displaystyle D}$ і звуження ${\displaystyle u|_{E}}$ досягає максимуму на ${\displaystyle E}$, то ${\displaystyle u(z)=\mathrm {const} }$ на ${\displaystyle E}$;
• Функція ${\displaystyle u(z)}$ є плюрісубгармонічною в області D, тоді і тільки тоді, коли вона є границею спадної послідовності функцій ${\displaystyle \{u_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$, де ${\displaystyle u_{k}\in C^{\infty }}$ і для відповідних областей виконуються включення ${\displaystyle D_{k}\subset {\bar {D}}_{k}\subset D_{k+1}}$ і також ${\displaystyle \bigcup _{k=1}^{\infty }D_{k}=D.}$

• Плюрігармонічна функція
• Субгармонічна функція

• Gunning, Robert C. (1990). Introduction to Holomorphic of Several Complex Variables. Vol. 1 Function theory. Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series. Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole. ISBN 0-534-13308-8..
• Herve, Michel (1971). Analytic and Plurisubharmonic Functions. Lecture Notes in Mathematics 198. Springer-Verlag. ISBN 0-387-05472-3..
• Krantz, Steven G. (1992). Function Theory of Several Complex Variables. Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series (вид. Second). Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole. с. xvi+557. ISBN 0-534-17088-9. MR 1162310. Zbl 776.32001..
• Lelong, Pierre (1969). Plurisubharmonic functions and positive differential forms. Notes on mathematics and its applications. Gordon and Breach..