Пляма Пуассона

Існування плями Араго — Пуассона легко пояснити на підставі принципу Гюйгенса — Френеля. Для ідеального точкового джерела інтенсивність плями Араго дорівнює інтенсивності не порушеного фронту хвилі . Тільки ширина піку інтенсивності плями Араго залежить від відстані між джерелом, круговим об'єктом та екраном, а також довжиною хвилі джерела та діаметром кругового об'єкта. Це означає, що можна компенсувати зменшення довжини хвилі джерела, збільшивши відстань l між круговим об'єктом та екраном або зменшивши діаметр кругового об'єкта. Припустимо, що на круглий непрозорий диск падає плоска хвиля, паралельна осі диска. Згідно з принципом Гюйгенса — Френеля, точки на краю диска можна розглядати як джерела вторинних хвиль, причому всі вони будуть когерентні. Всі ці хвилі пройдуть однакову відстань від краю диска до будь-якої точки на його осі. В результаті вони прийдуть в цю точку в однаковій фазі і посиляться, створюючи яскраву пляму. Варто відзначити, що на досить великих відстанях від диска спостерігати пляму стає неможливо, в силу просторової декогерентності хвиль, що приходять. Для ідеального точкового джерела інтенсивність плями Араго дорівнює інтенсивності не порушеного фронту хвилі . Тільки ширина піку інтенсивності плями Араго залежить від відстані між джерелом, круговим об'єктом та екраном, а також довжиною хвилі джерела та діаметром кругового об'єкта. Це означає, що можна компенсувати зменшення довжини хвилі джерела, збільшивши відстань l між круговим об'єктом та екраном або зменшивши діаметр кругового об'єкта.

Коли світло світить на кругову перешкоду, принцип Гюйгенса говорить, що кожна точка в площині перешкоди діє як нове точкове джерело світла. Світло, що надходить з точок по колу перешкоди і спрямовується до центру тіні, проходить точно однакову відстань, тому все світло, що проходить поруч із об'єктом, надходить на екран у фазі і конструктивно втручається. Це призводить до яскравої плями в центрі тіні, де геометрична оптика та теорії частинок світла передбачають, що світла не повинно бути взагалі.

Існування плями Араго — Пуассона може бути пояснене частково на основі загальної теорії розсіювання. Повний переріз розсіяння ${\displaystyle \sigma _{\text{tot}}}$ світла на перешкоді і (комплексна) амплітуда розсіювання${\displaystyle f}$ пов'язані співвідношенням:

${\displaystyle \mathrm {f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} )} ={\frac {k}{4\pi }}\sigma _{\text{tot}},}$

назване оптичною теоремою. ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — напрямок падаючого пучка. Звідси, в силу безперервності амплітуди розсіювання, як функції напрямку розсіювання, вивходить, що диференціальний перетин розсіювання вперед відмінне від нуля, що відповідає світлій плямі позаду тіла.

${\displaystyle d\sigma _{\text{fw}}=|f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} )|^{2}\,do}$

Відзначимо, що це пояснення не є цілком точне, так як опис світла за допомогою амплітуди і перетину розсіювання можливий лише на відстані, більшій в порівнянні з розмірами тіла, але на таких відстанях стає істотним облік когерентності хвиль, а крім того стає неможливим точно зіставити розміри геометричної тіні тіла і відповідної світлої плями.