Інтерференція хвиль

В загальному випадку одновимірну хвилю, що розповсюджується вздовж осі x, можна подати в такому вигляді:

${\displaystyle y(x,t)=A\cdot \sin {\frac {2\pi }{T_{x}}}\left(t-{\frac {x}{v_{x}}}\right)}$,

де ${\displaystyle t}$ — змінна часу, ${\displaystyle A}$ — амплітуда коливання, ${\displaystyle T_{x}}$ — період коливань, ${\displaystyle v_{x}}$ — швидкість розповсюдження коливань вздовж осі x. Хвиля може також характеризуватися кутовою частотою:

${\displaystyle \omega _{x}={\frac {2\pi }{T_{x}}}={\frac {2\pi v_{x}}{\lambda _{x}}}}$,

де ${\displaystyle \lambda _{x}}$ -довжина хвилі. Можна також ввести хвильовий вектор (число) у вигляді:

${\displaystyle k_{x}={\frac {2\pi }{\lambda _{x}}}={\frac {\omega _{x}}{v_{x}}}}$.

Таким чином одномірну хвилю, що розповсюджується вздовж осі x можна також подати у вигляді:

${\displaystyle y(x,t)=A\cdot \sin \phi (x,t)=A\cdot \sin(\omega _{x}t-k_{x}x)}$,

де ${\displaystyle \phi (x,t)=\omega _{x}t-k_{x}x}$ — фаза хвилі.

Розглянемо монохроматичну хвилю з кутовою частотою ${\displaystyle \omega }$, ширина якої рівна нулю

${\displaystyle \Delta (\omega )=0}$.

В рамках моделі інтерференції Захар'євського[1] розглядаються дві хвилі, що розповсюджуються по двох шляхах інтерферометра:

${\displaystyle y_{1}=A_{1}\sin \phi _{1}=A_{1}\sin(\omega _{x}-k_{x}x_{1})}$

${\displaystyle y_{2}=A_{2}\sin \phi _{1}=A_{2}\sin(\omega _{x}-k_{x}x_{2})}$

Сумарну хвилю можна подати у вигляді:

${\displaystyle y=y_{1}+y_{2}=A_{1}\sin \phi _{1}+A_{2}\sin \phi _{2}=(A_{1}+A_{2}\cos \psi )\sin \phi _{1}-A_{2}\sin \psi \cos \phi _{1}}$,

де різниця фаз двох коливань буде:

${\displaystyle \psi =\phi _{1}-\phi _{2}=k_{x}(x_{2}-x_{1})={\frac {2\pi \Delta _{x}}{\lambda _{x}}}}$,

де ${\displaystyle \Delta _{x}=x_{2}-x_{1}}$ — різниця ходу двох хвиль. Для подальшого розгляду доцільно ввести нові змінні у вигляді:

${\displaystyle A_{1}+A_{2}\cos \psi =A\cos \theta }$

${\displaystyle A_{2}\sin \psi =A\sin \theta }$.

Тоді квадрат амплітуди сумарного коливання буде:

${\displaystyle A^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos \psi }$.

Кути ${\displaystyle \theta }$ та ${\displaystyle \psi }$ пов'язані між собою таким чином:

${\displaystyle tg\theta ={\frac {A_{2}\sin \psi }{A_{1}+A_{2}\cos \psi }}}$/

В результаті маємо наступне рівняння для інтерференційних коливань монохроматичної хвилі:

${\displaystyle y(x_{1},t)=A\cos \theta \sin \phi _{1}-A\sin \theta \cos \phi _{1}=A\sin(\phi _{1}-\theta )=A\sin(\omega t-k_{x}x_{1}-\theta )}$

Оскільки енергія коливань залежить від квадрата амплітуди, тому для нас важливо з’ясувати можливі значення для різниці фаз та різниці ходу. Ми будемо мати два різні випадки.

В першому випадку ми маємо такі значення:

${\displaystyle \psi ={\frac {2\pi \Delta _{x}}{\lambda _{x}}}=0,\pm 2\pi ,\pm 4\pi ,\dots ,\pm N_{x}2\pi }$

${\displaystyle \Delta _{x}=0,\pm \lambda _{x},\pm 2\lambda _{x},\dots ,\pm N_{x}\lambda _{x}}$

де ${\displaystyle N_{x}}$ — ціле позитивне або негативне число (порядок інтерференції). Максимальне значення квадрата модуля амплітуди тут буде:

${\displaystyle (A^{2})_{max}=(A_{1}+A_{2})^{2}}$.

В другому випадку, коли ми маємо мінімальне значення квадрата амплітуди

${\displaystyle (A^{2})_{min}=(A_{1}-A_{2})^{2}}$

ми будемо мати наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

${\displaystyle \psi ={\frac {2\pi \Delta _{x}}{\lambda _{x}}}=0,\pm \pi ,\pm 3\pi ,\dots ,\pm (2N_{x}+1)\pi }$

${\displaystyle \Delta _{x}=0,\pm \lambda _{x}/2,\pm 2\lambda _{x}/2,\dots ,\pm (N_{x}+1)\lambda _{x}/2}$.

Часто буває, що амплітуди коливань є однакові ${\displaystyle A_{1}=A_{2}}$. Тоді сумарна амплітуда буде:

${\displaystyle A^{2}=2A_{1}^{2}(1+\cos \theta )=4A_{1}^{2}\cos ^{2}\theta /2=4A_{1}^{2}\cos ^{2}\left({\frac {\pi \Delta _{x}}{\lambda _{x}}}\right)}$

її максимальне значення ${\displaystyle (A^{2})_{max}=4A_{1}^{2}}$, а мінімальне — ${\displaystyle (A^{2})_{min}=0}$. Це найбільш бажаний результат, оскільки тут вся енергія коливань бере участь у створенні інтерференційної картини (найбільш різка контрастність).

Геометрична модель інтерференції базується на стандартній схемі, яка включає в себе два дзеркала Френеля[2], розміщені під невеликим кутом один до одного.

Інтервал між сусідніми світлими або темними смугами називається шириною смуги і позначається символом ${\displaystyle \sigma }$. Якщо ${\displaystyle n_{x}}$-а смуга знаходиться від центру поля на відстані ${\displaystyle y_{1}}$, то для неї різниця ходу рівна

${\displaystyle \Delta _{x1}=n_{x}\lambda _{x}={\frac {ay_{1}}{L}}}$,

де ${\displaystyle a}$- відстань між двома когерентними джерелами світла, а ${\displaystyle L}$- база інтерферометра (відстань між джерелами світла та площиною інтерференційного поля).

Для сусідньої ${\displaystyle n_{x}+1}$ -ї смуги, яка знаходиться від центру поля на відстані ${\displaystyle y_{2}}$, маємо

${\displaystyle \Delta _{x2}=(n_{x}+1)\lambda _{x}={\frac {ay_{2}}{L}}}$.

Очевидно, що різниця ${\displaystyle y_{2}-y_{1}}$ рівна ширині смуги, звідки знаходимо

${\displaystyle \sigma _{x}=y_{2}-y_{1}={\frac {L\lambda _{x}}{a}}}$.

Таким чином, ширина смуги інтерференції хвиль з нульовою шириною лінії (${\displaystyle \Delta \omega =0}$), залежить від довжини хвиль,що (с-)падають.

В природі не зустрічаються хвилі, які характеризуються однією частотою, без розширення частотного спектру (т.з. ширина лінії спектру хвилі). навіть у випадку лазерного променя ми маємо скінченне значення ширини лінії. В загальному випадку цей частотний спектр можна розглянути за допомогою двох близьких частот:

${\displaystyle \Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}\ll \omega _{1}\neq \omega _{2}}$.

Розглянемо дві близькі хвилі у вигляді:

${\displaystyle z_{1}(x,t)=A_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})}$

${\displaystyle z_{2}(x,t)=A_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2})}$.

У випадку рівності амплітуд ${\displaystyle A_{1}=A_{2}}$ та фаз ${\displaystyle \phi _{1}=\phi _{2}}$ сумарне значення двох хвиль буде:

${\displaystyle z_{tot}=z_{1}+z_{2}=A(\sin \omega _{1}t+\sin \omega _{2}t)=2A\cos \left({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t\right)\cdot \sin \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t\right)}$

Середнє значення часто ми можемо розглядати як несучу частоту:

${\displaystyle \omega =\omega _{av}=(\omega _{1}+\omega _{2})/2}$,

а різницю частот

${\displaystyle \Omega =\omega _{mod}=(\omega _{1}-\omega _{2})/2}$

як модуляційну частоту. Тут ми можемо також ввести поняття амплітуда модуляції

${\displaystyle A_{mod}(t)=2A\cos \Omega t}$.

Таким чином, сумарне значення модульованої хвилі буде

${\displaystyle z_{tot}(t)=A_{mod}\sin \omega t}$.

Розглянемо випадок інтерференції двох модуляційних хвиль, які можна подати у вигляді:

${\displaystyle z(x,y,t)=2A\cos[\Omega (t+y/v)]\cdot \sin[\omega (t-x/v)]}$.

Тут враховано той факт, що несучі хвилі розповсюджуються вздовж осі ${\displaystyle x}$, а модуляційні — вздовж осі ${\displaystyle y}$. Кутові частоти тут будуть

${\displaystyle \omega _{x}={\frac {2\pi v}{\lambda _{x}}}}$

${\displaystyle \Omega _{y}={\frac {2\pi v}{\Lambda _{y}}}}$.

Хвильові вектори (числа) можна подати у вигляді:

${\displaystyle k_{x}={\frac {\omega _{x}}{v}}={\frac {2\pi }{\lambda _{x}}}}$

${\displaystyle k_{y}={\frac {\Omega _{y}}{v}}={\frac {2\pi }{\Lambda _{y}}}}$.

Оскільки ${\displaystyle \omega _{x}\gg \Omega _{y}}$, тому

${\displaystyle \Lambda _{y}={\frac {2\pi v}{\Omega _{y}}}\gg \lambda _{x}={\frac {2\pi v}{\omega _{x}}}}$.

Таким чином, інтерференція двох модуляційних хвиль є типове двомірне явище в (${\displaystyle x,y}$) — площині. Коефіцієнт модуляції двох хвиль визначається як:

${\displaystyle K_{M}={\frac {\omega _{x}}{\Omega _{y}}}={\frac {\Lambda _{y}}{\lambda _{x}}}\gg 1}$.

У випадку інтерференції його можна розглядати, як коефіцієнт підсилення двомірної інтерференції:

${\displaystyle K_{2D}=K_{M}\gg 1}$.

Дві модуляційні хвилі можна подати у вигляді:

${\displaystyle z_{1}(t)=2A\cos[\Omega _{y}(t+y_{1}/v)]\cdot \sin[\omega _{x}(t-L/v)]=A_{z1}\cos \phi _{z1}=A_{z1}\cos(\Omega t-k_{y}y_{1})}$

${\displaystyle z_{2}(t)=2A\cos[\Omega _{y}(t+y_{2}/v)]\cdot \sin[\omega _{x}(t-L/v)]=A_{z2}\cos \phi _{z1}=A_{z2}\cos(\Omega t-k_{y}y_{2})}$.

де

${\displaystyle A_{z}=A_{z1}=A_{z2}=2A\sin(\omega t-k_{x}x)}$

${\displaystyle \psi _{z}=\phi _{z1}-\phi _{z2}=k_{y}(y_{2}-y_{1})={\frac {2\pi \Delta _{y}}{\Lambda _{y}}}}$

а ${\displaystyle \Delta _{y}=y_{2}-y_{1}}$ - різниця ходу вздовж осі ${\displaystyle y}$. Сумарне значення інтерференційної хвилі тут буде:

${\displaystyle z_{tot}=z_{1}+z_{2}=A_{z1}\cos \phi _{1}+A_{z2}\cos(\phi _{z1}-\psi _{z})=(A_{z1}+A_{z2})\cos \phi _{1}+A_{z2}\sin \psi \sin \phi _{1}}$

Ми знову можемо скористатися заміною змінних у вигляді:

${\displaystyle A_{z1}+A_{z2}\cos \psi =A_{zz}\cos \theta _{z}}$

${\displaystyle A_{z2}\sin \psi _{z}=A_{zz}\sin \theta _{z}}$

Це дає змогу переписати сумарну хвилю у вигляді:

${\displaystyle z_{tot}=A_{zz}\cos \theta _{z}\cos \phi _{z1}+A_{zz}\sin \theta _{z}\sin \phi _{z1}=A_{zz}\cos(\phi _{z1}-\theta _{z})=A_{zz}\cos(\Omega t-k_{y}y_{1}-\theta _{z})}$

де квадрат нової амплітуди та нова залежність між кутами буде:

${\displaystyle A_{zz}^{2}=2A_{z}^{2}(1+\cos \psi _{z})}$

${\displaystyle tg\theta _{z}={\frac {sin\psi _{z}}{1+\cos \psi _{z}}}}$

Для інтерференції з модуляцією ми також будемо мати два випадки. В першому випадку ми маємо наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

${\displaystyle \psi _{z}={\frac {2\pi \Delta _{y}}{\Lambda _{y}}}=0,\pm 2\pi ,\pm 4\pi ,\dots ,\pm N_{y}2\pi }$

${\displaystyle \Delta _{y}=0,\pm \Lambda _{y},\pm 2\Lambda _{y},\dots ,\pm N_{y}\Lambda _{y}}$

де ${\displaystyle N_{y}}$ - ціле позитивне або негативне число (порядок інтерференції). Максимальне значення квадрата модуля амплітуди тут буде:

${\displaystyle (A_{zz}^{2})_{max}=(A_{z1}+A_{z2})^{2}}$.

В другому випадку, коли ми маємо мінімальне значення квадрата амплітуди

${\displaystyle (A_{zz}^{2})_{min}=(A_{z1}-A_{z2})^{2}}$,

тоді будемо мати наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

${\displaystyle \psi _{z}={\frac {2\pi \Delta _{y}}{\Lambda _{y}}}=0,\pm \pi ,\pm 3\pi ,\dots ,\pm (2N_{y}+1)\pi }$

${\displaystyle \Delta _{y}=0,\pm \Lambda _{y}/2,\pm 2\Lambda _{y}/2,\dots ,\pm (N_{x}+1)\Lambda _{y}/2}$.

Основною умовою спостереження інтерференції модульованих хвиль є виконання співвідношення для модульованої різниці ходу:

${\displaystyle \Delta _{y}={\frac {ay}{L}}=N_{y}\Lambda _{y}=N_{x}\lambda _{x}}$,

а також співвідношення між ширинами смуг:

${\displaystyle N_{x}\sigma _{x}=N_{y}\Sigma _{y}}$.

Іншими словами, необхідна синхронність коливань вздовж осі ${\displaystyle x}$ з частотою ${\displaystyle \omega _{x}}$ та модуляційних коливань вздовж осі ${\displaystyle y}$ з частотою ${\displaystyle \Omega _{y}}$. Таким чином, для коефіцієнту модуляції (або коефіцієнту підсилення ширини смуги) маємо:

${\displaystyle K_{M}={\frac {\Lambda _{y}}{\lambda _{x}}}={\frac {N_{x}}{N_{y}}}={\frac {\Sigma _{y}}{\sigma _{x}}}\gg 1}$.

Оскільки ми можемо спостерігати «підсилені» ширини смуг ${\displaystyle \Sigma _{y}}$ (декілька штук), то для їх створення необхідно дуже багато «непідсилених» смуг ${\displaystyle \sigma _{x}}$, а це означає що ${\displaystyle N_{x}\gg N_{y}}$.

Безумовно, інтерференція немодульованих хвиль з частотою ${\displaystyle \omega _{x}}$ має пріоритет. Тому у випадку двох близьких частот ${\displaystyle \omega _{x1}\neq \omega _{x2}}$ різниця порядків інтерференції ${\displaystyle N_{x1}}$ та ${\displaystyle N_{x2}}$ повинна бути малим числом:

${\displaystyle N_{x1}-N_{x2}=N_{y1}-N_{y2}=n_{y}=0,1,2,\dots }$

Тоді різниця ходу для двох близьких частот буде:

${\displaystyle \Delta _{x}=N_{x1}\lambda _{x1}=(N_{x1}-n_{y})\lambda _{x2}}$

або

${\displaystyle N_{x1}={\frac {n_{y}\lambda _{x1}}{\lambda _{x2}-\lambda _{x1}}}=n_{y}n_{x12}}$.

Цей вираз також може переписати у формі:

${\displaystyle N_{x1}=n_{y}{\frac {\omega _{x1}}{2\Omega _{y}}}=n_{y}K_{MI}}$,

де ${\displaystyle K_{MI}={\frac {\omega _{x1}}{2\Omega _{y}}}\gg 1}$, а ${\displaystyle \Omega _{y}={\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}={\frac {\pi v(\lambda _{2}-\lambda _{1})}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}}$. Якщо як джерело світла взяти водневу лампу, для якої ${\displaystyle \lambda _{2}=656.2}$нм та ${\displaystyle \lambda _{1}=486.1}$нм, тоді

${\displaystyle n_{x12}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}=3.9}$,

тобто не дуже велике число. Проте у випадку натрієвої лампи, де ${\displaystyle \lambda _{2}=589.2}$нм та ${\displaystyle \lambda _{1}=589}$нм, ми будемо мати велике число:

${\displaystyle n_{x12}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}=983}$.

Іншими словами, у випадку двох близьких ліній, наприклад, для лазерних променів з конечним значенням ширини спектру, або натрієвої лампи ми будемо мати великий коефіцієнт підсилення інтерференції модульованих хвиль ${\displaystyle K_{MI}=0.5n_{x12}=500}$. Проте, у випадку «білого світла» або водневої лампи коефіцієнт підсилення інтерференції буде малим ${\displaystyle K_{MI}=0.5n_{x12}=2}$. Таким чином, не залежно від конкретної схеми інтерферометра, інтерференція двох модульованих хвиль має велику ширину смуги:

${\displaystyle \Sigma _{y}=\sigma {\frac {\Lambda _{y}}{\lambda _{x}}}=\sigma _{x}N_{x}}$

при ${\displaystyle \Lambda _{y}=N_{x}\lambda _{x}}$. Тому "зміщення ширини смуги" має вигляд:

${\displaystyle \Delta (\Sigma _{y})=\Sigma _{y1}-\Sigma _{y2}=(N_{x1}-N_{x2})\sigma _{x}=n_{y}\sigma _{x}}$.

Очевидно, що мінімальне значення зміщення ширини смуги буде:

${\displaystyle [\Delta (\Sigma _{y})]_{min}=\sigma _{x}}$

при ${\displaystyle n_{y}=1}$. Точність вимірювання ширини модульованих хвиль буде, якщо не враховувати похибку телескопа чи мікроскопа:

${\displaystyle \delta _{y}={\frac {[\Delta (\Sigma _{y})]_{min}}{\Sigma _{y}}}={\frac {\sigma _{x}}{N_{x}\sigma _{x}}}={\frac {1}{N_{x1}}}}$

де ${\displaystyle N_{x1}=n_{y}{\frac {\lambda _{x2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\gg 1}$.