Порожня сума

У математиці порожня сума — це сума, що не має жодного доданку. За домовленістю[1] значенням порожньої суми є нейтральний елемент додавання — нуль.

Зазвичай суми мають принаймні два доданки, але в певних ситуаціях від такого обмеження буває зручно відмовитися. Для прикладу розглянемо послідовність чисел ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$, ${\displaystyle a_{3}}$,..., а виразом ${\displaystyle s_{n}}$ позначимо суму її перших ${\displaystyle n}$ елементів:

${\displaystyle s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+\ldots +a_{n}}$.

Тоді має місце рекурентне співвідношення

${\displaystyle s_{n}=s_{n-1}+a_{n}}$,

яке можна розглядати для всіх ${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle 2}$,..., якщо вважати ${\displaystyle s_{1}=a_{1}}$ та ${\displaystyle s_{0}=0}$. Іншими словами, під значенням «суми» ${\displaystyle s_{1}}$ з одним-єдиним доданком розуміємо, власне, величину цього доданку, а під «сумою» ${\displaystyle s_{0}}$ «з нулем доданків» розуміємо ${\displaystyle 0}$. Розгляд таких «сум» з одним або навіть нулем доданків скорочує число випадків, які окремо слід було б розглядати у багатьох математичних формулах. Такі «суми» є природними початками багатьох індуктивних доведень, а також алгоритмів. Із цих міркувань домовленість про нульове значення порожньої суми є поширеною практикою в математиці та програмуванні. Аналогічно, значенням порожнього добутку домовилися вважати одиницю — нейтральний елемент множення.

Викладене стосується не лише числових сум, але й більш загальних сум елементів іншої природи (як от вектори, матриці, многочлени), для яких означено додавання — елементів абелевих груп, або навіть адитивних моноїдів (адитивних у сенсі зображення бінарної операції знаком «${\displaystyle +}$»), причому значенням відповідних порожніх сум залишатиметься нейтральний, або як його тут зазвичай називають, нульовий елемент цих груп чи моноїдів.