Моноїд

Моноїд — це алгебрична структура з бінарною операцією, що є асоціативною та має нейтральний елемент. Стисліше, моноїд — це напівгрупа з нейтральним елементом.

Кубічна ґратка алгебричних структур
від магми до групи.

Якщо для всіх елементів моноїда існує обернений елемент тоді це група.

Визначення

Моноїд — це множина $S$ , разом із двомісною операцією “ $\cdot$ ”, яка задовольняє трьом наступним аксіомам:

Замкнутість: Для всіх $a,b\in S$ , результат операції $a\cdot b$ також в $S$ .
Асоціативність: Для всіх $a,b,c\in S$ , виконується рівність $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ .
Нейтральний елемент (одиниця): Існує елемент $e\in S$ такий, що для всіх елементів $a\in S$ , вірна рівність $a\cdot e=e\cdot a=a$ .

І в математичному записі ми можемо записати це так

Замкнутість: $\forall a,b\in S\colon a\cdot b\in S$ ,
Асоціативність: $\forall a,b,c\in S\colon (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ,
Нейтральний елемент: $\exists e\in S$ такий, що $\forall a\in S\colon e\cdot a=a\cdot e=a$ .

Символ двомісної операції часто опускається; наприклад, аксіоми моноїда вимагають $\ (ab)c=a(bc)$ і $\ ea=ae=a$ . Двомісна операція традиційно називається множенням, але може реалізовуватися будь-якою.

Моноїдні структури

Підмоноїди

Підмоноїдом моноїда $\left(M,\cdot \right)$ є підмножина N із М, замкнута відносно моноїдної операції і така, що містить нейтральний елемент e із M. В символьному записі, N є підмоноїдом М, якщо $N\subseteq M$ , $x\cdot y\in N$ якщо $x,y\in N$ , і $M\ni e\in N$ . В цьому випадку N є моноїдом за двомісною операцією, успадкованою від М.

З іншого боку, якщо N є підмножиною моноїду, замкнутою щодо моноїдної операції, та є моноїдом щодо цієї успадкованої операції, то N не завжди буде підмоноїдом, оскільки нейтральний елемент може бути іншим. Наприклад, синглетон {0} замкнутий щодо алгебраїчного множення, але він не є підмоноїдом (мультиплікативного) моноїду невід’ємних цілих чисел: тут нейтральним елементом буде 1.

Генератори

Підмножина S із М породжує М, якщо найменший підмоноїд М, що містить S, є самим М. Якщо моноїд М може бути породженим скінченною множиною, він називається скінченно породженим моноїдом.

Комутативний моноїд

Моноїд, операція якого комутативна, називається комутативним (або, рідше, за аналогією з групами, абелевим). Операцію комутативного моноїда часто позначають як додавання. Будь-який комутативний моноїд наділений алгебраїчним передпорядком $\leq$ , визначеним так, що $x\leq y$ , якщо існує z такий, що $x+z=y$ . Порядковою одиницею комутативного моноїда М є такий елемент u із М, що для будь-якого елемента х із М у множині, породженій u, існує елемент v такий, що $x\leq v$ . Це часто має місце, коли М є додатним конусом частково впорядкованої абелевої групи G, в цьому випадку u називають порядковою одиницею G.

Частково комутативний моноїд

Моноїд, операція якого є комутативною лише для деяких, але не для всіх елементів, називають слідовим моноїдом. Слідові моноїди часто зустрічаються в теорії паралельних обчислень.

Приклади

З 16 можливих двомісних булевих операцій чотири, які мають двобічну ідентичність, є комутативними та асоціативними. Таким чином, будь-яка з них перетворює множину {False, True} на комутативний моноїд. Відповідно до стандартних визначень, AND та XNOR мають одиницею True, а XOR та OR мають одиницею False. Моноїди з AND чи OR також ідемпотентні, тоді як моноїди із XOR та XNOR — ні.
Множина натуральних чисел $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$ є комутативним моноїдом щодо операції алгебраїчного додавання (нейтральний елемент 0) або щодо операції алгебраїчного множення (нейтральний елемент 1). Підмоноїд $N$ щодо додавання називають числовим моноїдом.
Множина цілих додатних чисел є комутативним моноїдом щодо алгебраїчного множення (нейтральний елемент 1).
Якщо задано множину A, множина підмножин A є комутативним моноїдом щодо операції перетину (нейтральним елементом є сама множина A).
Якщо задано множину A, множина підмножин A є комутативним моноїдом щодо операції об'єднання (нейтральним елементом є порожня множина).

Див. також

Ґратка з діленням

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.