Порівняння топологій

Нехай ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}$ і ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}$ — дві топології на множині ${\displaystyle X,}$ такі що ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}$ міститься в ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}:}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}\subseteq {\mathcal {T}}_{2}.}$

Це означає, що кожна відкрита множина першого топологічного простору є відкритою множиною другого. В цьому випадку топологія ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}$ називається слабшою (також грубшою або меншою), ніж ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}.}$ Відповідно, топологія ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}$ називається сильнішою (також тоншою, більшою). Деякі автори, особливо в підручниках з математичного аналізу, вживають терміни «сильна топологія» і «слабка топологія» з протилежним значенням. [1]

Бінарне відношення ${\displaystyle \subseteq }$ задає структуру часткового порядку на множині всіх можливих топологій множини ${\displaystyle X.}$

Найсильніша топологія на ${\displaystyle X}$ — дискретна топологія, в якій усі множини є відкритими. Відповідно, найслабша топологія — тривіальна (або антидискретна) топологія.

Найслабшою топологією на ${\displaystyle X,}$ щодо якої ${\displaystyle X}$ задовольняє аксіомі відокремлення T₁, називається T₁-топологією. Така топологія завжди існує, її можна описати явно як топологію, замкнутими множинами якої є скінченні множини, а також ${\displaystyle X.}$

Нехай ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}$ і ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}$ — дві топології на множині ${\displaystyle X.}$ Тоді наступні твердження є еквівалентними:

• ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}\subseteq {\mathcal {T}}_{2}}$
• Тотожне відображення ${\displaystyle {\text{id}}_{X}:(X,{\mathcal {T}}_{2})\to (X,{\mathcal {T}}_{1})}$ є неперервним.
• Тотожне відображення ${\displaystyle {\text{id}}_{X}:(X,{\mathcal {T}}_{1})\to (X,{\mathcal {T}}_{2})}$ є відкритим відображенням (або, еквівалентно, замкнутим відображенням).

Також з означень випливають твердження:

• Неперервне відображення ${\displaystyle f:X\to Y}$ залишиться неперервним, якщо топологію на ${\displaystyle Y}$ замінити на слабшу (відповідно, топологію на ${\displaystyle X}$ — на сильнішу).
• Відкрите відображення ${\displaystyle f:X\to Y}$ залишиться відкритим, якщо топологію на ${\displaystyle Y}$ замінити на сильнішу (відповідно, топологію на ${\displaystyle X}$ — на слабшу). Аналогічне твердження є справедливим і для замкнутих відображень.

Множина топологій на ${\displaystyle X}$ утворює повну ґратку щодо відношення ${\displaystyle \subseteq .}$ Це означає, що довільна сім'я топологій має точну верхню і точну нижню грань. Точною нижньою гранню є перетин топологій. З іншого боку, об'єднання топологій не обов'язково є топологією, і точна верхня грань сім'ї топологій — топологія, для якої їх об'єднання є передбазою.

Будь-яка повна ґратка є також обмеженою, в разі топологій цьому відповідають поняття дискретної і антидискретної топологій.

• Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры — М.: Наука, 1968
• Gaal, Steven A.(2009), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)