Антидискретна топологія

Антидискретна топологія або тривіальна топологія — це топологія, яка складається з порожньої та найбільшої множини. Це мінімальний набір множин, який може буде в топології.

Іншими словами, антидискретна топологія на непорожній множині $X$ має вигляд $\tau =\{\varnothing \,,X\}$ . Топологічний простір $(X,\tau )$ називається антидискретним[1].

Властивості

Ця топологія є найслабшою для $X$ .
$\varnothing$ , $X$ є одночасно відкритими і замкненими множинами.
Довільна підмножина є компактною і секвенціально компактною.
Довільна точка простору $X$ є граничною точкою довільної неодноточкової множини.
Кожна послідовність точок антидискретного простору збігається до будь-якої точки цього простору.
Довільна неодноточкова множина є щільною в собі. Єдиною ніде не щільною множиною є $\varnothing$ . Тому $X$ є простором другої категорії.
$X$ є сепарабельним простором, оскільки кожна підмножина є скрізь щільною в ньому.
$X$ задовольняє другу аксіому зліченності.
Кожне відображення в антидискретний простір неперервне.
$X$ є дугово зв'язним в тому й лише в тому разі, коли він незліченний.
$X$ є лінійно зв'язним, а тому і зв'язним.
$X$ псевдометризовний, але не метризовний.
$X$ ультразв'язний та гіперзв'язний.
$X$ є $T_{3}$ , $T_{4}$ та $T_{5}$ -простором. Якщо $X$ містить більше однієї точки, то він не є $T_{0}$ -простором.

Примітки

Борисенко, О. А., Диференціальна геометрія і топологія : Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995 . с. 216

Література

1.Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446.

Див. також

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Борисенко, О. А., Диференціальна геометрія і топологія : Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995 . с. 216