Правило повного математичного сподівання

Припустимо, що дві фабрики постачають на ринок лампочки. Лампочки із заводу ${\displaystyle X}$ працюють в середньому 5000 годин, тоді як лампи заводу ${\displaystyle Y}$ працюють в середньому впродовж 4000 годин. Відомо, що фабрика ${\displaystyle X}$ постачає 60% від загальної кількості наявних ламп. Яка очікувана тривалість часу роботи придбаної лампочки?

Застосовуючи закон повного матсподівання отримаємо:

${\displaystyle \operatorname {E} (L)=\operatorname {E} (L\mid X)\operatorname {P} (X)+\operatorname {E} (L\mid Y)\operatorname {P} (Y)=5000(0.6)+4000(0.4)=4600}$

де

• ${\displaystyle \operatorname {E} (L)}$ — тривалість роботи лампочки;
• ${\displaystyle \operatorname {P} (X)={6 \over 10}}$ — ймовірність, що куплена лампочка виготовлена на заводі X;
• ${\displaystyle \operatorname {P} (Y)={4 \over 10}}$ — ймовірність, що куплена лампочка виготовлена на заводі Y;
• ${\displaystyle \operatorname {E} (L\mid X)=5000}$ — очікувана тривалість роботи лампочки виготовленої на заводі X;
• ${\displaystyle \operatorname {E} (L\mid Y)=4000}$ — очікувана тривалість роботи лампочки виготовленої на заводі Y.

Отже, очікувана тривалість роботи кожної придбаної лампочки дорівнює 4600 годин.

Нехай випадкові величини ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle Y}$ визначені на одному ймовірнісному просторі, припустимо скінченну чи зліченну множину скінченних значень. Припустимо що ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ визначена, тобто ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$. Якщо ${\displaystyle \{A_{i}\}}$ — подрібнення ймовірнісного простору ${\displaystyle \Omega }$, то

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.}$

Нехай ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ - ймовірнісний простір, з визначеними на ньому σ-алгебрами ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {F}}}$. Для випадкової величини ${\displaystyle X}$ на такому просторі, закон згладжування стверджує, що якщо ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ - визначене, тобто ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$, тоді

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{1}]\quad {\text{(майже напевно)}}.}$

Доведення. Оскільки умовне матсподівання є похідною Радона – Нікодима, доведення закону згладжування зводиться до перевірки двох наступних властивостей:

• ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]{\mbox{ is }}{\mathcal {G}}_{1}}$ — вимірна
• ${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} ,}$ для всіх ${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}.}$

Перша з цих властивостей випливає з означення умовного матсподівання. Для доведення другого,

${\displaystyle {\begin{aligned}\min \left(\int _{G_{1}}X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{G_{1}}X_{-}\,d\operatorname {P} \right)&\leq \min \left(\int _{\Omega }X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{\Omega }X_{-}\,d\operatorname {P} \right)\\[4pt]&=\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty ,\end{aligned}}}$

отже інтеграл ${\displaystyle \textstyle \int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} }$ визначений (не дорівнює ${\displaystyle \pm \infty }$).

Друга властивість правильна оскільки з ${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}}$ випливає

${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} .}$

Висновок. В особливому випадку, коли ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}}$ і ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}=\sigma (Y)}$, закон згладжування зводиться до

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \limits _{i}\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \mid A_{i})\cdot \operatorname {P} (A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \cap A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )I_{A_{i}}(\omega )\operatorname {P} (d\omega )\\&=\sum \limits _{i}\operatorname {E} (XI_{A_{i}}),\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle I_{A_{i}}}$ - характеристична функція множини ${\displaystyle A_{i}}$.

Якщо подрібнення ${\displaystyle {\{A_{i}\}}_{i=0}^{n}}$ - скінченне, то, за властивістю лінійности, попередній вираз записується у вигляді

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)=\operatorname {E} (X),}$

що й треба було показати.

Якщо ж подрібнення ${\displaystyle {\{A_{i}\}}_{i=0}^{\infty }}$ - нескінченне, то застосовуючи теорему про мажоровану збіжність можемо показати

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)\to \operatorname {E} (X).}$

Справді, для кожного ${\displaystyle n\geq 0}$,

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right|\leq |X|I_{\mathop {\bigcup } \limits _{i=0}^{n}A_{i}}\leq |X|.}$

Позаяк кожен елемент множини ${\displaystyle \Omega }$ належить певному елементу подрібнення ${\displaystyle A_{i}}$, легко перевірити що послідовність ${\displaystyle {\left\{\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right\}}_{n=0}^{\infty }}$ поточково збіжна до X. За припущенням у твердженні, ${\displaystyle \operatorname {E} |X|<\infty }$. Застосовуючи теорему про мажоровану збіжність отримуємо бажане твердження.

• Основна теорема покеру для одного практичного застосування.
• Закон сумарної ймовірності
• Закон сумарної дисперсії
• Закон повної коваріації
• Закон сукупної кумуляції
• Розподіл продукту # очікування (застосування Закону для доказування того, що очікування товару є продуктом очікувань)

• Billingsley, Patrick (1995). Probability and measure. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2. (англ.) (Теорема 34.4)
• Christopher Sims, "Notes on Random Variables, Expectations, Probability Densities, and Martingales", especially equations (16) through (18)