Теорема Радона — Нікодима

Нехай ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ — простір з мірою і міра ${\displaystyle \mu }$ є ${\displaystyle \sigma }$-скінченною і ${\displaystyle \nu }$ є σ-адитивним зарядом або комплексною мірою і ${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$ тобто ${\displaystyle \nu }$ є абсолютно неперервним щодо ${\displaystyle \mu ,}$ то існує ${\displaystyle \mu }$-вимірна дійсно- чи комплекснозначна функція ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle X}$ така, що для кожної вимірної множини ${\displaystyle A,}$

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu .}$

Якщо ${\displaystyle g}$ є іншою функцією, що задовольняє твердження теореми, то ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle \mu }$-майже всюди.

Ідея доведення полягає у тому, що спершу для скінченних мір μ і ν розглядаються функції  f  для яких f dμ ≤ dν. Теорема доводиться із використанням супремуму таких функцій і теореми Леві промонотонну збіжність. Після доведення твердження для скінченних мір воно легко узагальнюється на σ-скінченні міри, заряди і комплексні міри.

Нехай μ і ν є скінченними невід'ємними мірами і F позначає множину вимірних функцій f  : X → [0, ∞] для яких:

${\displaystyle \forall A\in \Sigma$ :\qquad \int _{A}f\,d\mu \leq \nu (A)}

F не є порожньою оскільки містить принаймні нульову функцію. Нехай f₁,  f₂ ∈ F і для вимірної множини A позначимо підмножини:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=\left\{x\in A:f_{1}(x)>f_{2}(x)\right\},\\A_{2}&=\left\{x\in A:f_{2}(x)\geq f_{1}(x)\right\},\end{aligned}}}$

Тоді

${\displaystyle \int _{A}\max \left\{f_{1},f_{2}\right\}\,d\mu =\int _{A_{1}}f_{1}\,d\mu +\int _{A_{2}}f_{2}\,d\mu \leq \nu \left(A_{1}\right)+\nu \left(A_{2}\right)=\nu (A),}$

і тому також max{ f ₁,  f ₂} ∈ F.

Якщо f_n є послідовністю функцій F для якої

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .}$

то замінюючи  f_n  на максимум перших n функцій, можна припустити, що послідовність  f_n  є зростаючою. Нехай g  : X → [0, ∞] є поточковою границею послідовності:

${\displaystyle g(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).}$

Згідно теореми Леві про монотонну збіжність:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu =\int _{A}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,d\mu (x)=\int _{A}g\,d\mu \leq \nu (A)}$

для кожної A ∈ Σ і тому g ∈ F. Також за побудовою

${\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .}$

Оскільки g ∈ F, то функція множин задана як

${\displaystyle \nu _{0}(A):=\nu (A)-\int _{A}g\,d\mu }$

є невід'ємною мірою на Σ. Необхідно довести, що ν₀ = 0.

Якщо припустити, що ν₀ ≠ 0, то оскільки μ є скінченною мірою, існує ε > 0 для якого ν₀(X) > ε μ(X). Розглянемо заряд ν₀ − ε μ і його додатну множину P ∈ Σ із розкладу Гана.

Тоді для довільної A ∈ Σ також ν₀(A ∩ P) ≥ ε μ(A ∩ P), і тому

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (A)&=\int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A\cap P)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\varepsilon \mu (A\cap P)=\int _{A}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu ,\end{aligned}}}$

де 1_P є характеристичною функцією множини P. Також μ(P) > 0 адже якщо μ(P) = 0, тоді із того, що ν є абсолютно неперервним щодо μ і ν₀(P) ≤ ν(P) = 0 випливає, що ν₀(P) = 0 і

${\displaystyle \nu _{0}(X)-\varepsilon \mu (X)=\left(\nu _{0}-\varepsilon \mu \right)(N)\leq 0,}$ де N ∈ Σ є від'ємною множиною із розкладу Гана.

Остання нерівність суперечить тому, що ν₀(X) > εμ(X).

Оскільки також

${\displaystyle \int _{X}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu \leq \nu (X)<+\infty ,}$

то g + ε 1_P ∈ F і

${\displaystyle \int _{X}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu >\int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .}$

Ця нерівність є неможливою і тому припущення, що ν₀ ≠ 0 є хибним і ν₀ = 0.

Оскільки g є μ-інтегровною, то множина {x ∈ X : g(x) = ∞} має μ-міру рівну нулю. Тому функція  f  визначена як

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}g(x)&g(x)<\infty \\0&g(x)=\infty ,\end{cases}}}$

є дійснозначною функцією, що задовольняє умови теореми Радона — Нікодима.

Нехай  f, g : X → [0, ∞) є двома вимірними функціями для яких

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu =\int _{A}g\,d\mu }$

для кожної вимірної множини A. Тоді g − f  є μ-інтегровною і

${\displaystyle \int _{A}(g-f)\,d\mu =0.}$

Зокрема для A = {x ∈ X : f(x) > g(x)}, або{x ∈ X : f(x) < g(x)}. Звідси випливає, що

${\displaystyle \int _{X}(g-f)^{+}\,d\mu =0=\int _{X}(g-f)^{-}\,d\mu ,}$

і тому (g − f )⁺ = 0 μ-майже сюди; таке ж твердження є вірним і для (g − f )⁻ і тому f = g μ-майже всюди.

Якщо μ і ν є σ-скінченними, то X можна записати як диз'юнкте об'єднання множин {B_n}_n із Σ, кожна із яких має скінченну міру у μ і ν. Для кожного числа n із доведеного скінченного випадку існує Σ-вимірна функція  f_n  : B_n → [0, ∞) для якої

${\displaystyle \nu _{n}(A)=\int _{A}f_{n}\,d\mu }$

для кожної Σ-вимірної підмножини A із B_n. Сума ${\textstyle \left(\sum _{n}f_{n}1_{B_{n}}\right):=f}$ тоді є необхідною функцією для якої ${\textstyle \nu (A)=\int _{A}fd\mu }$.

Оскільки кожна із функцій f_n є єдиною з точністю до множин μ-міри нуль, то і f є єдиною з точністю до множин μ-міри нуль.

Якщо ν є σ-скінченним σ-адитивним зарядом, то для нього існує розклад Жордана ν = ν⁺ − ν⁻ де одна із мір є скінченною. Застосовуючи теорему Радона — Нікодима до цих мір одержуються функції g, h : X → [0, ∞), принаймні одна з яких є μ-інтегровною. Функція f = g − h задовольняє умови теореми, зокрема і єдиність з точністю до множин μ-міри нуль.

Якщо ν є комплексною мірою то її можна записати як ν = ν₁ + iν₂, де ν₁ і ν₂ є скінченними σ-адитивними зарядами. Тому із попереднього одержуються функції, g, h : X → [0, ∞), які задовольняють твердження теореми для зарядів ν₁ і ν₂, відповідно. Функція f = g + ih тоді задовольняє твердження теореми Радона — Нікодима для комплексних мір.

Тут доводиться випадок скінченних невід'ємних мір. Перехід на інші випадки аналогічний попередньому доведенню.

Нехай ${\displaystyle \varphi =\mu +\nu }$ є сумою мір. Тоді для будь-якої невід'ємної вимірної функції ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \int _{X}h\,d\varphi =\int _{X}h\,d\mu +\int _{X}h\,d\nu .}$

Простір ${\displaystyle L^{2}(\varphi )}$ всіх інтегровних у квадраті функцій щодо міри ${\displaystyle \varphi }$ із відношенням еквівалентності яке ідентифікує функції які набувають різних значень лише на множині ${\displaystyle \varphi }$-міри нуль є гільбертовим простором. Для функції ${\displaystyle f\in L^{2}(\varphi )}$ тоді згідно нерівності Коші — Буняковського для гільбертових просторів:

${\displaystyle \left|\int _{X}h\,d\nu \right|\leqslant \int _{X}|h|\,d\nu \leqslant \int _{X}|h|\,d\varphi \leqslant \left(\int _{X}|h|^{2}\,d\varphi \right)^{1 \over 2}(\varphi (X))^{1 \over 2}.}$

Оскільки ${\displaystyle \varphi (X)}$ є скінченним, то ${\displaystyle I_{\nu }(h)=\int _{X}hd\nu }$ є обмеженим лінійним функціоналом на просторі ${\displaystyle L^{2}(\varphi ).}$ Згідно теореми Ріса, існує такий елемент ${\displaystyle g\in L^{2}(\varphi )}$, що лінійний функціонал є рівний скалярному добутку на цей елемент, тобто

${\displaystyle \int _{X}hd\nu =\int _{X}hgd\varphi .}$

Якщо для довільної вимірної множини ${\displaystyle E}$ зокрема взяти за ${\displaystyle h}$ характеристичну функцію множини ${\displaystyle E}$, то із того, що ${\displaystyle \nu \leqslant \varphi }$ випливає нерівність

${\displaystyle 0\leqslant {\frac {1}{\varphi (E)}}\int _{E}gd\varphi \leqslant 1}$

Оскільки ці нерівності виконуються для всіх вимірних множин ${\displaystyle E}$, то також і ${\displaystyle 0\leqslant g\leqslant 1}$ майже скрізь на ${\displaystyle X}$ щодо міри ${\displaystyle \varphi }$. Дійсно, якщо б це було не так, то оскільки множина ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus [0,1]}$ є об'єднанням зліченної кількості відкритих інтервалів ${\displaystyle (a,b),\ \ 1<a<b}$ і ${\displaystyle (d,e),\ \ d<e<0}$ то хоча б для одного такого інтервалу ${\displaystyle \varphi (g^{-1}(a,b))>0}$ або ${\displaystyle \varphi (g^{-1}(d,e))>0.}$ Якщо це справедливо для першого типу інтервалів, то позначивши ${\displaystyle E=g^{-1}(a,b)}$ тоді

${\displaystyle {\frac {1}{\varphi (E)}}\int _{E}gd\varphi \geqslant {\frac {1}{\varphi (E)}}\int _{E}ad\varphi =a>1,}$

що суперечить нерівностям вище для довільного ${\displaystyle E}$. Аналогічно для другого типу інтервалів позначивши ${\displaystyle E=g^{-1}(d,e)}$ тоді

${\displaystyle {\frac {1}{\varphi (E)}}\int _{E}gd\varphi \leqslant {\frac {1}{\varphi (E)}}\int _{E}e\ d\varphi =e<0,}$

що, знову ж, суперечить згаданим нерівностям.

Можна змінити функцію ${\displaystyle g}$ на множині ${\displaystyle \varphi }$-міри нуль щоб нерівності ${\displaystyle 0\leqslant g\leqslant 1}$ виконувалися на всьому просторі ${\displaystyle X}$. Із попередніх рівностей випливає, що для всіх ${\displaystyle h\in L^{2}(\varphi )}$

${\displaystyle \int _{X}h(1-g)d\nu =\int _{X}hgd\mu .}$

Якщо позначити ${\displaystyle A=\{x\ |\ 0\leqslant g(x)<0\}}$ і ${\displaystyle B=\{x\ |\ g(x)=1\}}$, то із останньої рівності для ${\displaystyle h=\mathbf {1} _{B}}$ випливає, що ${\displaystyle \mu (B)=0}$ і відповідно ${\displaystyle \nu (B)=0}$.

Із обмеженості функції ${\displaystyle g}$ випливає, що ${\displaystyle (1+g+g^{2}+\ldots +g^{n})\mathbf {1} _{E}\in L^{2}(\varphi )}$. Підставивши цю функцію у рівність інтегралів одержується рівність

${\displaystyle \int _{E}(1-g^{n+1})d\nu =\int _{E}g(1+g+\ldots +g^{n})d\mu .}$

Для усіх точок із ${\displaystyle A}$ функції ${\displaystyle 1-g^{n+1}}$ монотонно зростають до одиничної функції, а на множині ${\displaystyle B}$ усі функції ${\displaystyle 1-g^{n+1}}$ є рівними нулю. Звідси із використанням теореми Леві про монотонну збіжність

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{E}(1-g^{n+1})d\nu =\lim _{n\to \infty }\int _{A\cap E}(1-g^{n+1})d\nu =\nu (A\cap E)=\nu (E)}$.

Послідовність функцій ${\displaystyle g(1+g+\ldots +g^{n})}$ поточково монотонно прямує до невід'ємної вимірної функції ${\displaystyle f}$ і з використанням теореми про монотонну збіжність ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{E}g(1+g+\ldots +g^{n})d\mu =\int _{E}fd\mu }$ і остаточно для всіх вимірних множин ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \nu (E)=\int _{E}fd\mu .}$

Якщо у цій формулі взяти всю множину ${\displaystyle X}$ то одержується єдиним чином визначений елемент ${\displaystyle h\in L^{1}(\varphi )}$ який задовольняє умови теореми. Всі функції, що задовольняють умови теореми відповідно належать вказаному класу еквівалентності і між собою відрізняються лише на множині μ-міри нуль.

Позначення і схему цього доведення можна використати для доведення теореми Лебега про розклад міри. У вказаному доведенні можна розглядати міру ${\displaystyle \varphi }$, функцію ${\displaystyle g}$, множини ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ навіть якщо міра ${\displaystyle \nu }$ не є абсолютно неперервною щодо ${\displaystyle \mu }$. У цьому випадку також ${\displaystyle \mu (B)=0}$ але звідси не обов'язково випливає, що ${\displaystyle \nu (B)=0}$.

Тоді можна розглянути міри ${\displaystyle \nu _{1}(E)=\nu (E\cap B)}$ і ${\displaystyle \nu _{2}(E)=\nu (E\cap B)}$. Міри ${\displaystyle \nu _{1}}$ і ${\displaystyle \mu }$ є сингулярними, а для ${\displaystyle \nu _{2}}$ можна як і у доведенні знайти функцію для якої ${\displaystyle \nu _{2}(E)=\int _{E}fd\mu .}$ Зокрема ${\displaystyle \nu _{2}}$ є абсолютно неперервною щодо ${\displaystyle \mu }$ і відповідно існує розклад ${\displaystyle \nu =\nu _{1}+\nu _{2}}$ міри ${\displaystyle \nu }$ на суму двох мір одна з яких є сингулярною, а інша — абсолютно неперервною щодо міри ${\displaystyle \mu }$, що і є твердженням теореми Лебега для скінченних мір.

Якщо μ і ν є σ-скінченними, то X можна записати як диз'юнкте об'єднання множин {B_n}_n із Σ, кожна із яких має скінченну міру у μ і ν. Тоді обмеження μ і ν на кожну підмножину B_n є скінченними мірами і на цій підмножині можна ввести міри ν₁ і ν₂. Разом із зліченної адитивності ці міри визначаються на всьому просторі і перша з них буде сингулярною, а друга — абсолютно неперервною щодо міри μ.