Теорема Радона — Нікодима

Теоре́ма Радо́на — Ніко́дима в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах описує загальний вид міри, абсолютно неперервної щодо іншої міри.

Формулювання

Нехай  простір з мірою і міра є -скінченною. Тоді якщо міра є абсолютно неперервною відносно , то існує вимірна функція , така що

де інтеграл розуміється в сенсі Лебега. Якщо є іншою функцією, що задовольняє твердження теореми, то -майже всюди.

Для зарядів і комплексних мір

Нехай  простір з мірою і міра є -скінченною і є σ-адитивним зарядом або комплексною мірою і тобто є абсолютно неперервним щодо то існує -вимірна дійсно- чи комплекснозначна функція на така, що для кожної вимірної множини

Якщо є іншою функцією, що задовольняє твердження теореми, то -майже всюди.

Пов'язані визначення

  • Функція , існування якої гарантується теоремою Радона — Нікодима, називається похідною Радона — Нікодіма міри щодо міри . Пишуть:

Властивості

  • Нехай  -скінченні міри, визначені на одному і тому ж просторі з мірою . Тоді якщо і , то
  • Нехай . Тоді
 — майже всюди.
  • Нехай і  — вимірна функція, інтегрована щодо міри , то
  • Нехай і . Тоді
  • Нехай  заряд. Тоді

Припущення σ-скінченності

У випадку якщо міра не є σ-скінченною тоді твердження теореми не виконується. Для прикладу можна розглянути борелівську σ-алгебру на множині дійсних чисел. На даній σ-алгебрі можна задати міру , що рівна кількості елементів множини для скінченних множин і +∞ в іншому випадку. Визначена таким чином міра не є σ-скінченною, оскільки не всі борелівські множини є зліченними. Нехай  міра Лебега.  — абсолютно неперервна відносно , оскільки єдина множина A нульової міри  — пуста множина і тоді ν(A) = 0.

Якщо припустити, що теорема Радона — Нікодима справджується, то існує вимірна функція f, для якої:

для всіх борелівських множин. Нехай A — довільна одноелементна множина , A = {a}, і, використовуючи згадану вище рівність, одержується:

для всіх дійсних чисел a. Звідси функція f, і міра Лебега ν, є нульовими, що суперечить означенню міри Лебега.

Доведення

Нижче подані два доведення перше із яких використовує стандартні методи теорії міри, зокрема властивості (σ-адитивних) зарядів. Ключову роль у ньому відіграє теорема Гана про розклад мір і розклад Жордана. Друге використовує той факт, що класи еквівалентності інтегровних у квадраті функцій утворюють гільбертів простір і властивості гільбертових просторів, зокрема теорему Ріса.

Доведення методами теорії міри

Ідея доведення полягає у тому, що спершу для скінченних мір μ і ν розглядаються функції f для яких f dμ. Теорема доводиться із використанням супремуму таких функцій і теореми Леві промонотонну збіжність. Після доведення твердження для скінченних мір воно легко узагальнюється на σ-скінченні міри, заряди і комплексні міри.

Доведення для скінченних мір

Нехай μ і ν є скінченними невід'ємними мірами і F позначає множину вимірних функцій f : X → [0, ∞] для яких:

F не є порожньою оскільки містить принаймні нульову функцію. Нехай f1,  f2F і для вимірної множини A позначимо підмножини:

Тоді

і тому також max{ f1,  f2} ∈ F.

Якщо fn є послідовністю функцій F для якої

то замінюючи fn на максимум перших n функцій, можна припустити, що послідовність fn є зростаючою. Нехай g : X → [0, ∞] є поточковою границею послідовності:

Згідно теореми Леві про монотонну збіжність:

для кожної A ∈ Σ і тому gF. Також за побудовою

Оскільки gF, то функція множин задана як

є невід'ємною мірою на Σ. Необхідно довести, що ν0 = 0.

Якщо припустити, що ν0 ≠ 0, то оскільки μ є скінченною мірою, існує ε > 0 для якого ν0(X) > ε μ(X). Розглянемо заряд ν0ε μ і його додатну множину P ∈ Σ із розкладу Гана.

Тоді для довільної A ∈ Σ також ν0(AP) ≥ ε μ(AP), і тому

де 1P є характеристичною функцією множини P. Також μ(P) > 0 адже якщо μ(P) = 0, тоді із того, що ν є абсолютно неперервним щодо μ і ν0(P) ≤ ν(P) = 0 випливає, що ν0(P) = 0 і

де N ∈ Σ є від'ємною множиною із розкладу Гана.

Остання нерівність суперечить тому, що ν0(X) > εμ(X).

Оскільки також

то g + ε 1PF і

Ця нерівність є неможливою і тому припущення, що ν0 ≠ 0 є хибним і ν0 = 0.

Оскільки g є μ-інтегровною, то множина {xX : g(x) = ∞} має μ-міру рівну нулю. Тому функція f визначена як

є дійснозначною функцією, що задовольняє умови теореми Радона — Нікодима.

Нехай f, g : X → [0, ∞) є двома вимірними функціями для яких

для кожної вимірної множини A. Тоді gf є μ-інтегровною і

Зокрема для A = {xX : f(x) > g(x)}, або{xX : f(x) < g(x)}. Звідси випливає, що

і тому (gf )+ = 0 μ-майже сюди; таке ж твердження є вірним і для (gf ) і тому f = g μ-майже всюди.

Доведення для σ-скінченних мір

Якщо μ і ν є σ-скінченними, то X можна записати як диз'юнкте об'єднання множин {Bn}n із Σ, кожна із яких має скінченну міру у μ і ν. Для кожного числа n із доведеного скінченного випадку існує Σ-вимірна функція fn : Bn → [0, ∞) для якої

для кожної Σ-вимірної підмножини A із Bn. Сума тоді є необхідною функцією для якої .

Оскільки кожна із функцій fn є єдиною з точністю до множин μ-міри нуль, то і f є єдиною з точністю до множин μ-міри нуль.

Доведення для зарядів і комплексних мір

Якщо ν є σ-скінченним σ-адитивним зарядом, то для нього існує розклад Жордана ν = ν+ν де одна із мір є скінченною. Застосовуючи теорему Радона — Нікодима до цих мір одержуються функції g, h : X → [0, ∞), принаймні одна з яких є μ-інтегровною. Функція f = gh задовольняє умови теореми, зокрема і єдиність з точністю до множин μ-міри нуль.

Якщо ν є комплексною мірою то її можна записати як ν = ν1 + 2, де ν1 і ν2 є скінченними σ-адитивними зарядами. Тому із попереднього одержуються функції, g, h : X → [0, ∞), які задовольняють твердження теореми для зарядів ν1 і ν2, відповідно. Функція f = g + ih тоді задовольняє твердження теореми Радона — Нікодима для комплексних мір.

Доведення методами функціонального аналізу

Тут доводиться випадок скінченних невід'ємних мір. Перехід на інші випадки аналогічний попередньому доведенню.

Нехай є сумою мір. Тоді для будь-якої невід'ємної вимірної функції

Простір всіх інтегровних у квадраті функцій щодо міри із відношенням еквівалентності яке ідентифікує функції які набувають різних значень лише на множині -міри нуль є гільбертовим простором. Для функції тоді згідно нерівності Коші — Буняковського для гільбертових просторів:

Оскільки є скінченним, то є обмеженим лінійним функціоналом на просторі Згідно теореми Ріса, існує такий елемент , що лінійний функціонал є рівний скалярному добутку на цей елемент, тобто

Якщо для довільної вимірної множини зокрема взяти за характеристичну функцію множини , то із того, що випливає нерівність

Оскільки ці нерівності виконуються для всіх вимірних множин , то також і майже скрізь на щодо міри . Дійсно, якщо б це було не так, то оскільки множина є об'єднанням зліченної кількості відкритих інтервалів і то хоча б для одного такого інтервалу або Якщо це справедливо для першого типу інтервалів, то позначивши тоді

що суперечить нерівностям вище для довільного . Аналогічно для другого типу інтервалів позначивши тоді

що, знову ж, суперечить згаданим нерівностям.

Можна змінити функцію на множині -міри нуль щоб нерівності виконувалися на всьому просторі . Із попередніх рівностей випливає, що для всіх

Якщо позначити і , то із останньої рівності для випливає, що і відповідно .

Із обмеженості функції випливає, що . Підставивши цю функцію у рівність інтегралів одержується рівність

Для усіх точок із функції монотонно зростають до одиничної функції, а на множині усі функції є рівними нулю. Звідси із використанням теореми Леві про монотонну збіжність

.

Послідовність функцій поточково монотонно прямує до невід'ємної вимірної функції і з використанням теореми про монотонну збіжність і остаточно для всіх вимірних множин

Якщо у цій формулі взяти всю множину то одержується єдиним чином визначений елемент який задовольняє умови теореми. Всі функції, що задовольняють умови теореми відповідно належать вказаному класу еквівалентності і між собою відрізняються лише на множині μ-міри нуль.

Доведення теореми Лебега

Позначення і схему цього доведення можна використати для доведення теореми Лебега про розклад міри. У вказаному доведенні можна розглядати міру , функцію , множини і навіть якщо міра не є абсолютно неперервною щодо . У цьому випадку також але звідси не обов'язково випливає, що .

Тоді можна розглянути міри і . Міри і є сингулярними, а для можна як і у доведенні знайти функцію для якої Зокрема є абсолютно неперервною щодо і відповідно існує розклад міри на суму двох мір одна з яких є сингулярною, а інша — абсолютно неперервною щодо міри , що і є твердженням теореми Лебега для скінченних мір.

Якщо μ і ν є σ-скінченними, то X можна записати як диз'юнкте об'єднання множин {Bn}n із Σ, кожна із яких має скінченну міру у μ і ν. Тоді обмеження μ і ν на кожну підмножину Bn є скінченними мірами і на цій підмножині можна ввести міри ν1 і ν2. Разом із зліченної адитивності ці міри визначаються на всьому просторі і перша з них буде сингулярною, а друга — абсолютно неперервною щодо міри μ.

Див. також

Джерела

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.