Умовне математичне сподівання

Вважатимемо, що задано ймовірнісний простір ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$. Нехай ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ — інтегровна випадкова величина, тобто ${\displaystyle \mathbb {E} \vert X\vert <\infty }$. Нехай також ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}}$ — під-σ-алгебра σ-алгебри ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

• Умовне математичне сподівання — це випадкова величина, а не число!
• Умовне математичне сподівання визначене з точністю до подій ймовірності нуль. Таким чином, якщо ${\displaystyle {\hat {X}}_{1}=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]}$ і ${\displaystyle {\hat {X}}_{1}={\hat {X}}_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$-майже усюди, то ${\displaystyle {\hat {X}}_{2}=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]}$. Ототожнивши випадкові величини, що розрізняються лише на подіях ймовірності нуль, отримуємо єдиність умовного математичного сподівання.
• Узявши ${\displaystyle A=\Omega }$, отримуємо за визначенням:

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]]}$,

і зокрема справедлива формула повної ймовірності:

${\displaystyle \mathbb {P} (B)=\mathbb {E} [\mathbb {P} (B\mid {\mathcal {G}})]}$.

• Нехай σ-алгебра ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\sigma (C_{1},\ldots ,C_{n})}$ породжена розбиттям ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$. Тоді

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {E} [X\mid C_{i}]\mathbf {1} _{C_{i}}}$.

Зокрема формула повної ймовірності приймає класичний вигляд:

${\displaystyle \mathbb {P} (A\mid {\mathcal {G}})=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A\mid C_{i})\mathbf {1} _{C_{i}}}$,

а відповідно

${\displaystyle \mathbb {P} (A)=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A\mid C_{i})\,\mathbb {P} (C_{i})}$.

• Якщо ${\displaystyle {\hat {X}}=\mathbb {E} [X\mid Y]}$, то існує Борелева функція ${\displaystyle h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, така що

${\displaystyle {\hat {X}}=h(Y)}$.

Умовне математичне сподівання ${\displaystyle X}$ щодо події ${\displaystyle \{Y=y\}}$ за визначенням рівне

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y=y]\equiv h(y)}$.

• Якщо ${\displaystyle X\geq 0}$ м.н., то ${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]\geq 0}$ п.н.
• Якщо ${\displaystyle X}$ незалежна від ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$, то

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]=\mathbb {E} [X]}$ м.н.

Зокрема, якщо ${\displaystyle X,Y}$ незалежні випадкові величини, то

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y]=\mathbb {E} [X]}$ м.н.

• Якщо ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2}}$ — дві σ-алгебри, такі що ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subset {\mathcal {G}}_{2}\subset {\mathcal {F}}}$, то

${\displaystyle \mathbb {E} [\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{1}]}$.

• Якщо ${\displaystyle X}$ - ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-вимірна, і ${\displaystyle Y}$ — випадкова величина, така що ${\displaystyle Y,XY\in L^{1}}$, то

${\displaystyle \mathbb {E} [XY\mid {\mathcal {G}}]=X\,\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {G}}]}$.

• "Математичне сподівання прибирає умову". Це правило вірне для УМС відносно випадкової величини (УМС в такому разі буде випадковою величиною) і для умовної ймовірності відносно випадкової величини

${\displaystyle \mathbb {E} [\mathbb {E} (X\mid Y)]=\mathbb {E} (X)}$.

• Теорема Леві про монотонну збіжність;
• Теорема Лебега про мажоровану збіжність;
• Лема Фату;
• Нерівність Єнсена.

Нехай ${\displaystyle Y}$ — дискретна випадкова величина, розподіл якої задається функцією ймовірності ${\displaystyle \mathbb {P} (Y=y_{j})\equiv p_{y}(y_{j})=p_{j}>0,\;j=1,2,\ldots }$. Тоді система подій ${\displaystyle \{Y=y_{j}\}}$ є розбиттям ${\displaystyle \Omega }$, і

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y]=\sum \limits _{j=1}^{\infty }\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]\mathbf {1} _{\{Y=y_{j}\}}}$,

а

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\mathbb {E} _{j}[X]}$,

де ${\displaystyle \mathbb {E} _{j}}$ означає математичне сподівання узяте щодо умовної ймовірності ${\displaystyle \mathbb {P} _{j}(\cdot )=\mathbb {P} (\cdot \mid Y=y_{j})}$.

Якщо випадкова величина ${\displaystyle X}$ також дискретна, то

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\ \mathbb {P} (X=x_{i}\mid Y=y_{j})=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\ p_{X\mid Y}(x_{i}\mid y_{j})}$,

де ${\displaystyle p_{X\mid Y}}$ — умовна функція ймовірності випадкової величини ${\displaystyle X}$ відносно ${\displaystyle Y}$.

Нехай ${\displaystyle X,Y}$ - випадкові величини, такі що вектор ${\displaystyle (X,Y)^{\top }}$ абсолютно неперервний, і його розподіл задається густиною ймовірності ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$. Введемо умовну щільність ${\displaystyle f_{X\mid Y}}$, поклавши за визначенням

${\displaystyle f_{X\mid Y}(x\mid y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}}}$,

де ${\displaystyle f_{Y}}$ - щільність імовірності випадкової величини ${\displaystyle Y}$. Тоді

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y]=h(Y)}$,

де функція ${\displaystyle h}$ має вигляд

${\displaystyle h(y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dx}$.

Зокрема,

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,f_{X\mid Y}(x\mid y_{j})\,dx}$.

Розглянемо Простір випадкових величин із скінченним другим моментом ${\displaystyle L^{2}}$. У ньому визначені скалярний добуток

${\displaystyle \langle X,Y\rangle \equiv \mathbb {E} [XY],\;\forall X,y\in L^{2}}$,

і породжена ним норма

${\displaystyle \|X\|={\sqrt {\mathbb {E} \left[X^{2}\right]}},\;\forall X\in L^{2}}$.

Множина всіх випадкових величин ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}^{2}}$ з скінченним другим моментом і вимірних відносно ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$, де ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}}$, є підпростором ${\displaystyle L^{2}}$. Тоді оператор ${\displaystyle \Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}:L^{2}\to L^{2}}$, що задається рівністю

${\displaystyle \Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}(X)=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]}$,

є оператором ортогонального проектування на ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}^{2}}$. Зокрема:

• Умовне математичне сподівання ${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]}$ — це найкраще середньо-квадратичне наближення ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-вимірними випадковими величинами:

${\displaystyle \|X-\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]\|=\inf \limits _{Z\in L_{\mathcal {G}}^{2}}\|X-Z\|}$.

• Умовне математичне сподівання зберігає скалярний добуток:

${\displaystyle \langle X,Z\rangle =\langle \mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}],Z\rangle ,\;\forall Z\in L_{\mathcal {G}}^{2}}$.

• Умовне математичне сподівання ідемпотентне:

${\displaystyle \Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}^{2}=\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}}$.

• Умовний розподіл.

• Карташов М.В. Імовірність, процеси, статистика - Київ, ВПЦ Київський університет, 2007.
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810
• Williams D., Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6