Правильні багатовимірні багатогранники

Правильний n-вимірний багатогранник — багатогранники n-вимірного евклідового простору, які є найбільш симетричними в деякому сенсі. Правильні тривимірні багатогранники називаються також платоновими тілами.

Визначення

Прапором n-вимірного багатогранника $P$ називається набір його граней $F=(F_{0},F_{1},\dots ,F_{n-1})$ , де $F_{i}$ є $i$ -вимірна грань багатогранника Р, причому $F_{i}\subseteq F_{n-1}$ для $i=1,2,\dots ,n-1$ .

Правильний n-вимірний багатогранник — це опуклий n-вимірний багатогранник $P$ , у якого для будь-яких двох його прапорів $F$ і $F'$ знайдеться рух $P$ , який переводить $F$ в $F'$ .

Класифікація

В розмірності n = 4

Існує 6 правильних чотиривимірних багатогранників (багатокомірників):

Назва	Символ Шлефли	Комірка	Число комірок	Число граней	Число ребер	Число вершин
5-комірник	{3,3,3}	правильний тетраедр	5	10	10	5
Тесеракт	{4,3,3}	куб	8	24	32	16
16-комірник	{3,3,4}	правильний тетраедр	16	32	24	8
24-комірник	{3,4,3}	октаедр	24	96	96	24
120-комірник	{5,3,3}	додекаедр	120	720	1200	600
600-комірник	{3,3,5}	правильний тетраедр	600	1200	720	120

В розмірності n ≥ 5

У кожній з більш високих розмірностей існує по 3 правильних багатогранники (політопи):

Назва	Символ Шлефлі
n-вимірний правильний симплекс	{3;3;...;3;3}
n-вимірний гіперкуб	{4;3;...;3;3}
n-вимірний гіпероктаедр	{3;3;...;3;4}

Геометричні властивості

Кути

Двогранний кут між (n-1)-вимірними суміжними гранями правильного n-вимірного багатогранника, заданого своїм символом Шлефлі $\{p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{N-3},p_{N-2},p_{N-1}\}$ , визначається за формулою[1][2][3]

\sin ^{2}\beta ={\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-1}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-2}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-3}}}}{\frac {\ddots }{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{3}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{2}}}}{1-\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{1}}}}}}}}}}}}}}

де $\beta$ — половина кута між (n-1)-вимірними суміжними гранями правильного n-вимірного багатогранника.

Радіуси, об'єми

Радіус вписаної N-вимірної сфери:

r_{N}=r_{N-1}\operatorname {tg} {\beta },

де $r_{N-1}$ — радіус вписаної (N-1)-вимірної сфери межі.

Об'єм N-вимірного багатогранника:

V_{N}={\frac {1}{N}}V_{N-1}A_{N-1}r_{N},

де $V_{N-1}$ — об'єм (N-1)-вимірної межі, $A_{N-1}$ — кількість (N-1)-вимірних граней.

В розмірності n = 4

Тесерактовий стільник
Шістнадцятикомірниковий стільник
Двадцятичотирьохкомірниковий стільник

В розмірності n ≥ 5

Гіперкубічний стільник

Див. також

Платонове тіло
Список правильних багатогранників і з'єднань

Примітки

Sommerville D.M.Y. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. — London, 1929. — С. 189. — 196 с.
Coxeter H.S.M. Regular Polytoopes. — London, 1948. — С. 134. — 321 с.
Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. — Наука, 1966. — С. 193.

Посилання

Наочний приклад на YouTube

Regular Polytopes (Platonic solids) in 4D. 2003. Архів оригіналу за 4 травня 2012. Процитовано 30 січня 2011.

Е. Ю. Смирнов. Группы отражений и правильные многогранники. — М. : МЦНМО, 2009. — 48 с. — ISBN 978-5-94057-525-2.

Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. — 1988. — Т. 29. — С. 147–259.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Sommerville D.M.Y. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. — London, 1929. — С. 189. — 196 с.

[2] Coxeter H.S.M. Regular Polytoopes. — London, 1948. — С. 134. — 321 с.

[3] Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. — Наука, 1966. — С. 193.