Шістнадцятикомірник

Обмежений 16 тривимірними комірками — однаковими правильними тетраедрами. Кут між двома суміжними комірками дорівнює ${\displaystyle 120^{\circ }.}$

Його 32 двовимірні грані — однакові правильні трикутники. Кожна грань розділяє 2 прилеглі до неї комірки.

Має 24 ребра однакової довжини. На кожному ребрі сходяться по 4 грані і по 4 комірки.

Має 8 вершин. У кожній вершині сходяться по 6 ребер, по 12 граней і по 8 комірок. Будь-яка вершина з'єднана ребром з будь-якою іншою — крім вершини, симетричної їй відносно центра багатокомірника.

Шістнадцятикомірник можна уявити як дві однакові правильні чотиривимірні піраміди, прикладені одна до одної своїми октаедричними основами, — або як чотиривимірну дуопіраміду, побудовану на двох квадратах.

Шістнадцятикомірник можна розташувати в декартовій системі координат так, щоб його 8 вершини мали координати${\displaystyle (\pm 1;0;0;0),}$${\displaystyle (0;\pm 1;0;0),}$${\displaystyle (0;0;\pm 1;0),}$${\displaystyle (0;0;0;\pm 1).}$

При цьому перерізами багатокомірника 6 координатними площинами будуть 6 квадратів, вершини і ребра яких — відповідно вершини і ребра багатокомірника.

Кожна з 16 комірок багатокомірника буде розташовуватися в одному з 16 ортантів чотиривимірного простору.

Початок координат${\displaystyle (0;0;0;0)}$ буде центром симетрії шістнадцятикомірника, а також центром його вписаної, описаної і напівуписаних тривимірних гіперсфер.

Поверхня шістнадцятикомірника при цьому буде геометричним місцем точок${\displaystyle (x;y;z;w),}$ чиї координати задовольняють рівняння

${\displaystyle |x|+|y|+|z|+|w|=1,}$

а внутрішність багатокомірника — геометричним місцем точок, для яких

${\displaystyle |x|+|y|+|z|+|w|<1.}$

Якщо шістнадцятикомірник має ребро довжини ${\displaystyle a,}$ то його чотиривимірний гіпероб'єм і тривимірна гіперплоща поверхні виражаються відповідно як

${\displaystyle V_{4}={\frac {1}{6}}\;a^{4}\approx 0{,}1666667a^{4},}$

${\displaystyle S_{3}={\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\;a^{3}\approx 1{,}8856181a^{3}.}$

Радіус описаної тривимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) в цьому випадку відповідає

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {2}}{2}}\;a\approx 0{,}7071068a,}$

радіус зовнішньої напівуписаної гіперсфери (що дотикається до всіх ребер у їх серединах) -

${\displaystyle \rho _{1}={\frac {1}{2}}\;a=0{,}5000000a,}$

радіус внутрішньої напівуписаної гіперсфери (що дотикається до всіх граней у їх центрах) -

${\displaystyle \rho _{2}={\frac {\sqrt {6}}{6}}\;a\approx 0{,}4082483a,}$

радіус вписаної гіперсфери (що дотикається до всіх комірок у їх центрах) -

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {2}}{4}}\;a\approx 0{,}3535534a.}$

Шістнадцятикомірниками можна замостити чотиривимірний простір без проміжків і накладень.