Просте розширення поля

Просте розширеннярозширення поля, породжене додаванням до поля одного елемента.

Визначення

Розширення поля L/K називається простим якщо існує елемент θ в полі L такий що єдиним підполем поля L, що містить як K так і θ є саме поле L.

Елемент θ тоді називається первісним елементом розширення L/K. Просте розширення за допомогою елемента θ позначається K(θ).

Класифікація

  • Якщо θ трансцендентний над K, то поле K(θ) ізоморфне K(X) — полю раціональних функцій з коефіцієнтами з K. Дане розширення — нескінченне.
  • Якщо θ алгебраїчний над K, то для θ існує єдиний мінімальний многочлен тобто многочлен найменшого можливого степеня із старшим коефіцієнтом рівним 1 для якого . Тоді поле K(θ) ізоморфне K[θ]кільцю многочленів від елемента θ. Дане розширення в цьому випадку є скінченним, його степінь рівний степеню мінімального многочлена елемента θ.

Властивості

Зокрема як наслідки з цієї теореми:

  • Довільне скінченне сепарабельне розширення є простим.
  • Якщо [L : K] порядок розширення є простим числом, тоді розширення L / K є простим.
  • Теорема Люрота. Якщо K(θ) — просте трансцендентне розширення поля K, то довільне його підполе, що містить K і не є йому рівним є теж простим трансцендентним розширенням поля K.

Приклади

  • Розширення є простим (породжуючим елементом є i).
  • Довільне скінченне розширення поля раціональних чисел є простим, оскільки воно є сепарабельним.

Література

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.