Теорема про первісний елемент

Нехай ${\displaystyle F}$ і ${\displaystyle K}$ — поля, і степінь розширення ${\displaystyle [K:F]=n}$ — скінченне число. Припустимо ${\displaystyle K=F(\alpha )}$. Оскільки розширення ${\displaystyle K/F}$ — скінченне, то елемент${\displaystyle \alpha }$ є алгебраїчним над ${\displaystyle F}$. Нехай ${\displaystyle m(x)}$ — мінімальний многочлен ${\displaystyle \alpha }$ над ${\displaystyle F}$. Позначимо поле ${\displaystyle L}$ таке що ${\displaystyle F\subseteq L\subseteq K}$ і ${\displaystyle m'(x)}$ — мінімальний многочлен елемента ${\displaystyle \alpha }$ над ${\displaystyle L}$. Якщо ${\displaystyle L'}$ — поле породжене коефіцієнтами многочлена ${\displaystyle m'(x)}$ то мінімальним многочленом ${\displaystyle \alpha }$ над ${\displaystyle L'}$ теж є ${\displaystyle m'(x)}$ і ${\displaystyle L'\subseteq L}$. Згідно з властивостями мінімального многочлена, оскільки ${\displaystyle m(\alpha )=0}$, маємо ${\displaystyle m'(x)|m(x)}$, отже: ${\displaystyle [K:L]=\deg(m'(x))=[K:L']\,.}$ Оскільки ${\displaystyle L'\subseteq L}$, звідси випливає ${\displaystyle L'=L}$. Тобто довільне проміжне поле ${\displaystyle F\subseteq L\subseteq K}$ відповідає полю породженому коефіцієнтами деякого дільника многочлена ${\displaystyle f(x)}$ зі старшим коефіцієнтом рівним одиниці. Оскільки многочлен ${\displaystyle f(x)}$ має скінченну кількість таких дільників, існує лише скінченна кількість таких підполів ${\displaystyle K}$, що містять ${\displaystyle F}$.

Нехай навпаки існує скінченна кількість таких полів ${\displaystyle L}$. Якщо ${\displaystyle F}$ є скінченним полем, тоді скінченним є і поле ${\displaystyle K}$, і всі такі розширення породжуються одним елементом. Припустимо тепер, що ${\displaystyle F}$ (і також ${\displaystyle K}$) є нескінченним полем. Нехай ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ - базис ${\displaystyle K}$ над ${\displaystyle F}$. Тоді ${\displaystyle K=F(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$. Для доведення достатньо розглянути випадок двох елементів. Загальний випадок тоді одержується за допомогою математичної індукції. Отже візьмемо ${\displaystyle K=F(\beta ,\gamma )}$. Розглянемо множину елементів ${\displaystyle \{\beta +a\gamma \}}$ для ${\displaystyle a\in F^{\times }}$. Згідно з припущенням, ця множина є нескінченною, проте існує лише скінченна кількість полів між ${\displaystyle K}$ і ${\displaystyle F}$; відповідно деякі два елементи породжують одне розширення ${\displaystyle L}$ поля ${\displaystyle F}$, наприклад ${\displaystyle \beta +a\gamma }$ і ${\displaystyle \beta +b\gamma }$. Це поле ${\displaystyle L}$ містить

${\displaystyle {\frac {(\beta +a\gamma )-(\beta +b\gamma )}{a-b}}=\gamma }$

І

${\displaystyle {\frac {(\beta +a\gamma )/a-(\beta +b\gamma )/b}{1/a-1/b}}=\beta }$

Отже взявши ${\displaystyle \alpha =\beta +a\gamma }$, одержуємо

${\displaystyle F(\alpha )=L=F(\beta ,\gamma )=K.}$