Проєкція Меркатора

Карта світу в проєкції Меркатора з координатними лініями, проведеними через 20°.

Для початку розглянемо найпростіший варіант проєкції Меркатора: проєкцію сфери на циліндр. Цей варіант не враховує сплюснутість Землі біля полюсів. Циліндричність проєкції відразу дає нам вираз для горизонтальної координати на карті: вона просто пропорційна довготі точки ${\displaystyle \lambda }$ (при використанні в розрахунках слід врахувати, що представлятися ця величина повинна в радіанах)

${\displaystyle x=c(\lambda -\lambda _{0})}$.

Умова рівнокутності — це просто рівність масштабів по горизонтальній та вертикальній осі. Оскільки масштаб по осі X на широті ${\displaystyle \theta }$ рівний просто ${\displaystyle c/(R\cos \theta )}$ (R — радіус Землі), то з умови ${\displaystyle dyR\cos \theta /c=Rd\theta }$ ми одержуєм вираз для залежності y від ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{matrix}y&=&c\ln \operatorname {tg} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\&=&c\,\operatorname {ath} \sin \theta \end{matrix}}}$.

Зворотне перетворення

${\displaystyle {\begin{matrix}\theta &=&2\operatorname {arctg} \left(e^{y/c}\right)-{\frac {1}{2}}\pi \\\\\ &=&\operatorname {arctg} \left(\operatorname {sh} (y/c)\right)\\\\\lambda &=&x/c+\lambda _{0}.\end{matrix}}}$

Тепер неважко отримати вирази для рівнокутної проєкції з урахуванням еліпсоїдальної форми Землі. Для цього треба записати метричну форму для еліпсоїда (a — велика піввісь, b — менша) в географічних координатах

${\displaystyle dl^{2}={\frac {a^{2}d\lambda ^{2}}{1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\operatorname {tg} ^{2}\theta }}+{\frac {b^{4}}{a^{2}}}{\frac {d\theta ^{2}}{(\cos ^{2}\theta +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}\theta )^{3}}},}$

перейти в ній до координат x та y і прирівняти масштаби по осях. Після дещо марудного інтегрування одержуєм

${\displaystyle {\begin{matrix}x&=&c(\lambda -\lambda _{0})\\y&=&c[\operatorname {ath} \sin \theta -\varepsilon \operatorname {ath} (\varepsilon \sin \theta )].\end{matrix}}}$

Тут ${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}/a}$ — ексцентриситет земного еліпсоїда. Зворотне перетворення не виражається в елементарних функціях, але рівняння для зворотного перетворення легко розв'язати методом теорії збурень за малим ${\displaystyle \epsilon }$.

Ітераційна формула для зворотного перетворення має такий вигляд:

${\displaystyle \theta _{n+1}=f\left(\theta _{n},y\right)}$, де ${\displaystyle \theta _{0}}$ можна взяти рівним 0 або приблизно розрахувати за формулою для сфероїда.

${\displaystyle \theta _{n+1}=\arcsin \left(1-{\frac {(1+\sin \theta _{n})(1-\varepsilon \sin \theta _{n})^{\varepsilon }}{e^{\frac {2y}{c}}(1+\varepsilon \sin \theta _{n})^{\varepsilon }}}\right)}$

• Проєкція Меркатора в підручнику з морської навігації
• Головоломка Меркатора від Google Maps

• Картографія
• Перелік картографічних проєкцій