Раціональна поверхня

Будь-яку неособливу раціональну поверхню можна отримати неодноразовим роздуттям мінімальної раціональної поверхні. Мінімальними раціональними поверхнями є проєктивна площина і поверхні Гірцебруха ${\displaystyle \Sigma _{r}}$ для ${\displaystyle r=0}$ або ${\displaystyle r\geq 2}$.

Інваріанти: Всі плюрироди^{[уточнити]} рівні 0 і фундаментальна група тривіальна.

Ромб Ходжа:

         1
      0     0
   1    1+n    1,
      0     0
         1

де n дорівнює 0 для проєктивної площини, 1 для поверхонь Гірцебруха і більше від 1 для інших раціональних поверхонь.

Група Пікара є непарною унімодулярною ґраткою ${\displaystyle I_{1,n}}$, за винятком поверхонь Гірцебруха ${\displaystyle \Sigma _{2m}}$, для яких це парна унімодулярна ґратка _{${\displaystyle II_{1,1}}$}.

Гвідо Кастельнуово довів, що будь-яка комплексна поверхня, для якої ${\displaystyle q}$ і ${\displaystyle P_{2}}$ (іррегулярність і другий плюрирод) дорівнюють нулю, є раціональною. Це використовується в класифікації Енрікеса — Кодайри для розпізнавання раціональних поверхонь. Зарицький[1] довів, що теорема Кастельнуово істинна також для полів додатної характеристики.

З теореми Кастельнуово випливає також, що будь-яка уніраціональна комплексна поверхня раціональна. Більшість уніраціональних комплексних многовидів розмірності 3 і вище не є раціональними. Для характеристики ${\displaystyle p>0}$ Зарицький[1] знайшов приклад уніраціональних поверхонь (поверхні Зарицького), які не є раціональними.

Деякий час було неясно, чи є комплексні поверхні з нульовими ${\displaystyle q}$ і ${\displaystyle P_{1}}$ раціональними, але Федеріго Енрікес знайшов контрприклад (поверхня Енрікеса).

• Поверхні Бордіга: вкладення степеня 6 проєктивної площини в ${\displaystyle P^{4}}$, визначене 10 точками в загальному положенні.
• Поверхні Шатле
• Поверхні Кобла
• Кубічні поверхні. Неособливі кубічні поверхні ізоморфні роздуттю проєктивної площини в 6 точках, і є площинами Фано. Існують іменовані приклади — кубика Ферма, кубічна вузлова поверхня Келі і діагональна поверхня Клебша.
• Поверхні дель Пеццо (поверхні Фано)
• Поверхня Еннепера
• Поверхні Гірцебруха ${\displaystyle \Sigma _{n}}$
• ${\displaystyle P^{1}\times P^{1}}$. Добуток двох проєктивних прямих є поверхнею Гірцебруха ${\displaystyle \Sigma _{0}}$_.
• Проєктивна площина
• Поверхня Сеґре. Перетин двох квадрик. Поверхня ізоморфна проєктивній площині, роздутій у 5 точках.
• Поверхня Штайнера. Поверхня в ${\displaystyle P^{4}}$ з особливостями, яка біраціональна проєктивній площині.
• Поверхні Вайта, узагальнення поверхонь Бордіга.
• Поверхня Веронезе. Вкладення проєктивної площини в ${\displaystyle P^{5}}$.

• Список алгебричних поверхонь

• Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. Compact Complex Surfaces. — Berlin : Springer-Verlag. — Т. 4. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge) — ISBN 978-3-540-00832-3.
• Arnaud Beauville. Complex algebraic surfaces. — 2nd. — Cambridge University Press, 1996. — Т. 34. — (London Mathematical Society Student Texts) — ISBN 978-0-521-49510-3.
• Oscar Zariski. On Castelnuovo's criterion of rationality p_a = P₂ = 0 of an algebraic surface // Illinois Journal of Mathematics. — 1958. — Т. 2 (3 листопада). — С. 303–315. — ISSN 0019-2082.