Вкладення Веронезе

Нехай ${\displaystyle d}$ і ${\displaystyle n}$ — натуральні числа і ${\displaystyle N=C_{n+d}^{d}-1}$ (де ${\displaystyle C_{n+d}^{d}}$ — біноміальний коефіцієнт).

Вкладенням Веронезе степеня d з n-вимірного проєктивного простору називається відображення

${\displaystyle \nu _{d}:\mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{N}}$

яке точці з однорідними координатами ${\displaystyle \left[x_{0}:\ldots :x_{n}\right]}$ ставить у відповідність точку усіх можливих мономів від ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ степеня d посортованих у лексикографічному порядку. Образ проєктивного простору при цьому відображенні називається многовидом Веронезе.

Зокрема для ${\displaystyle n=1}$:

${\displaystyle \nu _{d}(\left[x_{0}:x_{1}\right])=\left[x_{0}^{d}:x_{0}^{d-1}x_{1}:x_{0}^{d-2}x_{1}^{2}:\ldots :x_{1}^{d}\right]}$

і для ${\displaystyle d=2}$:

${\displaystyle \nu _{2}(\left[x_{0}:\ldots :x_{n}\right])=\left[x_{0}^{2}:x_{0}x_{1}:\ldots :x_{0}x_{n}:x_{1}^{2}:\ldots :x_{1}x_{n}:\ldots :x_{n}^{2}\right]}$.

Для невеликих d відображення є тривіальним: при d = 0 образом є єдина точка ${\displaystyle \mathbb {P} _{0}}$, при d = 1 відображення є тотожним; тому зазвичай розглядається випадок коли d є не менше двох.

Можна означити відображення Веронезе не залежним від координат способом, а саме

${\displaystyle \nu _{d}:\mathbb {P} V\to \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)}}}$

де V — скінченновимірний векторний простір, а ${\displaystyle {\rm {{Sym}^{d}V}}}$ — його симетричний степінь.

Поверхня Веронезе — образ вкладення Веронезе для ${\displaystyle n=2,d=2}$ яке переважно записується як

${\displaystyle \nu$ :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]}

Поверхня Веронезе природним чином виникає при вивченні конік, особливо при доведенні твердження «п'ять точок однозначно визначають коніку». Коніка — це плоска крива, задана рівнянням

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0,}$

яке є квадратичним щодо змінних ${\displaystyle x,y,z.}$ Однак композиція з вкладенням Веронезе дозволяє зробити це рівняння лінійним (точніше, для отримання довільної коники досить перетнути поверхню Веронезе гіперплощиною і взяти прообраз перетину).

Навпаки, умова того, що коніка містить точку ${\displaystyle [x:y:z]}$ є лінійною відносно коефіцієнтів ${\displaystyle (A,B,C,D,E,F)}$, тобто зменшує розмірність простору на одиницю. Точніше твердження полягає в тому, що п'ять точок загального положення визначають п'ять незалежних лінійних рівнянь, це випливає з того, що при вкладенні Веронезе точки загального положення переходять у точки загального положення.

Вкладення Веронезе є морфізмом проєктивних многовидів оскільки всі однорідні координати образу відображення є однорідними многочленами степеня d від координат в області визначення і значення всіх цих многочленів не може бути одночасно нульовим.

Координати проєктивного простору ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$ у який відбувається вкладення можна проіндексувати степенями змінних у мономах, тобто як ${\displaystyle z_{I}}$, де ${\displaystyle I=(i_{0},\ldots ,i_{n}),\quad i_{0}+\ldots +i_{n}=d,}$що відповідає моному ${\displaystyle x_{0}^{i_{0}},\ldots ,x_{n}^{i_{n}}.}$ Якщо ${\displaystyle I,J,K,L\in \mathbb {N} }$ — чотири такі індекси, що ${\displaystyle I+J=K+L}$ (де сума визначається покоординатно), то з означення вкладення Веронезе очевидно, що координати його образу задовольняють рівність ${\displaystyle z_{I}z_{J}-z_{K}z_{L}=0.}$ Тобто образ вкладення Веронезе міститься у підмноговиді ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$, що задовольняє систему рівнянь:

${\displaystyle W=V\left(\{z_{I}z_{J}-z_{K}z_{L}=0\;|\;I,J,K,L\in \mathbb {N} ,\;I+J=K+L\}\right).}$

Навпаки, якщо точка простору ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$ задовольняє вказаній системі рівнянь то вона належить образу вкладення Веронезе. Справді кожна така точка має хоча б одну ненульову серед координат ${\displaystyle z_{I}}$, де ${\displaystyle I}$ — індекс в якого стоїть d на позиції i і 0 на всіх інших позиціях. Дійсно якщо ${\displaystyle z_{J}\neq 0}$ для деякого індексу ${\displaystyle J=(j_{0},\ldots ,j_{n})}$ для якого, наприклад ${\displaystyle 0<j_{i}<d}$, то з того, що ${\displaystyle z_{J}z_{J}=z_{K}z_{L}\neq 0,\quad 2J=K+L,}$ можна обрати ${\displaystyle K}$, таке що ${\displaystyle z_{K}\neq 0}$ і його елемент на i-ій позиції рівний ${\displaystyle \min(2j_{i},d)}$ тобто строго більший від ${\displaystyle j_{i}}$. Повторивши цю процедуру необхідну кількість разів отримаємо необхідний індекс в якому ненульове число буде лише на i-ій позиції.

Тоді ми можемо ввести відображення ${\displaystyle \mu _{d}:\mathbb {P} ^{N}\to \mathbb {P} ^{n},}$ який точці для якої ${\displaystyle z_{I}\neq 0,}$ де ${\displaystyle I}$ визначено як вище ставить у відповідність точку однорідні координати якої рівні:

${\displaystyle \left(z_{(1,0,\ldots ,d-1,\ldots ,0)}:z_{(0,1,\ldots ,d-1,\ldots ,0)}:\ldots :z_{(0,0,\ldots ,d-1,\ldots ,1)}\right)}$

В усіх індексах вище d-1 знаходиться на i-ій позиції, а на i-ому місці стоїть ${\displaystyle z_{I}}$ (яка, відповідно, не рівна нулю). Неважко переконатися, що образ відображення не залежить від вибору індексу ${\displaystyle I}$, що задовольняє необхідні умови, і що відображення ${\displaystyle \mu _{d}}$ є оберненим до вкладення Веронезе.

З цього ми отримуємо, що образ многовида під дією вкладення Веронезе знову є многовидом (многовидом W), причому ізоморфним першому (jcrskmrb обернене відображення ${\displaystyle \mu _{d}}$ також очевидно є регулярним). Таким чином, вкладення Веронезе є бірегулярним.

З бірегулярності випливає, зокрема, що точки загального положення переходять у точки загального положення. Дійсно, якби образи точок задовольняли нетривіальному рівнянню, це рівняння задавало б підмноговид, прообраз якого був би підмноговидом, що містить вихідні точки. Також за допомогою цього можна показати, що будь-який проєктивний многовид є перетином многовида Веронезе і лінійного простору, тобто перетином квадрик.

• Harris, Joe (1995). Algebraic Geometry: A First Course. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97716-4.
• Karen Smith, Lauri Kahanpää, Pekka Kekäläinen, William Traves An invitation to algebraic geometry. Springer Verlag 2000, 2004, ISBN 0-387-98980-3.