Розбиття Хегора

Для будь-якого компактного тривимірного многовиду ${\displaystyle M}$ існує поверхня ${\displaystyle S}$, яка розрізає ${\displaystyle M}$ на два тіла з ручками, тобто на многовиди, гомеоморфні замкнутій області евклідового простору, обмеженій поверхнею.

Рід поверхні ${\displaystyle S}$ називають родом розбиття. Розбиття ${\displaystyle M}$ називають мінімальним, якщо ${\displaystyle M}$ не допускає розбиття меншого роду. Мінімальне значення роду поверхні називають родом Хегора многовиду ${\displaystyle M}$.

• Тривимірна сфера ${\displaystyle S^{3}}$ допускає розбиття Хегора роду нуль. Інакше кажучи, 2-вимірна сфера розрізає ${\displaystyle S^{3}}$ на дві кулі.
  • Більш того, всі многовиди, що допускають розбиття Хегора роду нуль, гомеоморфні ${\displaystyle S^{3}}$.
• Вкладений тор розбиває сферу на два повні тори, що дає інше розбиття Хегора ${\displaystyle S^{3}}$ роду 1. (Див. також розшарування Гопфа.)
• Лінзові простори допускають розбиття Хегора роду один. Інакше кажучи, будь-який лінзовий простір можна розрізати тором на два повні тори.

• Лема Александера: з точністю до ізотопії, існує єдине (кусково-лінійне) вкладення двовимірної сфери в тривимірну сферу.
  • Цю теорему можна переформулювати так: тривимірна сфера ${\displaystyle S^{3}}$ допускає єдине розбиття Хегора роду нуль.

• Теорема Вальдгаузена[2]: кожне розбиття ${\displaystyle S^{3}}$ виходить з розбиття роду нуль операцією зв'язної суми з розбиттям сфери роду 1.

• Теорема Рейдемейстера — Зінгера: для будь-якої пари розбиттів ${\displaystyle H_{1}}$ і ${\displaystyle H_{2}}$ многовиду ${\displaystyle M}$ існує третє розбиття ${\displaystyle H}$, яке є стабілізацією обох. Тобто ${\displaystyle H}$ можна отримати з ${\displaystyle H_{1}}$ і ${\displaystyle H_{2}}$ взяттям зв'язної суми з розбиттям ${\displaystyle S^{3}}$ роду 1.

• Будь-яка мінімальна поверхня в тривимірному рімановому многовиді додатної кривини задає розбиття Хегора.

• Математическая энциклопедия. М.: 197* — 1985, том 5, стр.780. (Разбиение Хегора.)
• Фоменко, А. Т. Геометрия и топология. Наглядная геометрия и топология. М. 1992. (Глава 2. Многообразия малой размерности.)