Розмах (статистика)

Оскільки розмах розраховується через крайні значення вибірки, які є випадковими величинами, він, як і будь-яка інша статистична характеристика, є випадковою величиною. Нехай ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ — ряд значень вибірки з функцією розподілу ${\displaystyle F(x)}$ та щільністю ймовірностей ${\displaystyle f(x)}$. В цьому випадку розмах ${\displaystyle R_{n}}$ описується функцією розподілу[3]:

${\displaystyle G{\bigl (}\omega {\bigr )}=P\{R_{n}\leq \omega \}=n\int _{-\infty }^{\infty }[F(\omega +x)-F(x)]^{n-1}f(x)\,\mathrm {d} x}$.

Якщо значення вибірки розподілені за нормальним законом, то математичне сподівання розмаху[2]

${\displaystyle E{\bigl (}R{\bigr )}=\alpha _{n}\cdot \sigma }$,

де ${\displaystyle \sigma }$ — середнє квадратичне відхилення,

${\displaystyle \alpha _{n}}$ — деяка функція обсягу вибірки ${\displaystyle n}$, яка табульована.

Таблиця. Граничні значення коефіцієнту ${\displaystyle \alpha _{n}}$ в залежності від обсягу вибірки ${\displaystyle n}$ для ймовірності 0,95[2].

${\displaystyle n}$	2	3	4	5	6	7	8	9	10
${\displaystyle \alpha _{n}}$	2,77	3,31	3,63	3,86	4,03	4,17	4,29	4,39	4,47

Отже, ${\displaystyle E\left(R/\alpha _{n}\right)=\sigma }$, що демонструє незміщеність оцінки ${\displaystyle R/\alpha _{n}}$. За невеликих значень ${\displaystyle n}$ (${\displaystyle n<10}$) ця оцінка параметра ${\displaystyle \sigma }$ має значну ефективність, однак за великих ${\displaystyle n}$ вона мало ефективна в порівнянні зі статистичною оцінкою середнього квадратичного відхилення ${\displaystyle S}$ (${\displaystyle S={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}}$).