Розмірність Лебега

Для компактного метричного простору ${\displaystyle X}$ розмірність Лебега визначається як найменше ціле число n із такою властивістю, що при будь-якому ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує скінченне відкрите ${\displaystyle \varepsilon }$-покриття ${\displaystyle X}$, що має кратність ≤ n + 1;

При цьому

• ${\displaystyle \varepsilon }$-покриттям метричного простору називається покриття, усі елементи якого мають діаметр ${\displaystyle <\varepsilon }$, а
• кратністю скінченного покриття простору ${\displaystyle X}$ називається таке найбільше ціле число ${\displaystyle k}$, що існує точка простору ${\displaystyle X}$, що втримується в k елементах даного покриття.

Для довільного нормального (зокрема, для метризовного) простору ${\displaystyle X}$ розмірністю Лебега називається найменше ціле число ${\displaystyle n}$ таке, що до всякого скінченного відкритого покриття простору ${\displaystyle X}$ існує вписане в нього (скінченне відкрите) покриття ${\displaystyle a}$ кратності n+1.

При цьому покриття ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ називається вписаним у покриття ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$, якщо кожний елемент покриття ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ є підмножиною хоча б одного елемента покриття ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$.