Розширення Галуа

Група автоморфізмів ${\displaystyle E/K}$, це автоморфізми ${\displaystyle E}$, які переводять елементи ${\displaystyle K}$ самі в себе. Позначається ${\displaystyle Aut(E/K)}$.

Для розширення Галуа, група автоморфізмів називається групою Галуа і позначається ${\displaystyle Gal(E/K)}$ чи ${\displaystyle G(E/K)}$.

Якщо ${\displaystyle Gal(E/K)}$ абелева, циклічна і т.д., то розширення Галуа називається відповідно абелевим, циклічним і т.д.

• За цих умов ${\displaystyle E}$ матиме найбільшу кількість автоморфізмів над ${\displaystyle K}$, якщо ${\displaystyle E}$ — скінченне розширення:

${\displaystyle |\!\operatorname {Aut} (E/K)|=[E:K]}$ кількість автоморфізмів дорівнює степеню розширення.

• ${\displaystyle E}$ — поле розкладу многочлена з коефіцієнтами з ${\displaystyle K}$.

Іноді розглядають групу Галуа для розширення ${\displaystyle E}$, яке є сепарабельним, але необов'язково нормальним. В цьому випадку під групою Галуа ${\displaystyle E/K}$ розуміють групу ${\displaystyle Gal(M/K)}$, де ${\displaystyle M}$ — нормальне замикання ${\displaystyle K}$, що містить ${\displaystyle E}$ (у скінченному випадку, коли сепарабельне розширення є простим ${\displaystyle E=K(\alpha )}$ для деякого α, що є коренем незвідного многочлена ${\displaystyle f(x)}$ над ${\displaystyle K}$. ${\displaystyle M}$ є полем розкладу цього многочлена).

• Абелеве розширення
• Нормальне розширення
• Сепарабельне розширення
• Теорія Галуа

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)