Основна теорема теорії Галуа

Ґратка підполів і відповідна ґратка підгруп

Розглянемо поле ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$. Кожен його елемент можна записати у вигляді

${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}),}$

де a, b, c, d — раціональні числа. Розглянемо автоморфізм розширення ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\supset \mathbb {Q} }$, оскільки це розширення породжується ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ і ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$, будь-який автоморфізм однозначно визначається їх образами. Автоморфізм будь-якого розширення має тільки переставляти місцями корені многочлена над меншим полем, отже, в даному випадку всі можливі нетривіальні автоморфізми це перестановка ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ і ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$ (позначимо цей автоморфізм ${\displaystyle f}$), перестановка ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ і ${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$ (автоморфізм ${\displaystyle g}$) і їх композиція ${\displaystyle fg}$. Більш точно, ці перетворення задаються наступним чином:

${\displaystyle f(a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}})=a-b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}}$

${\displaystyle g(a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}})=a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}}$

Очевидно, що ці відображення є бієктивними і переводять суму в суму, отже, для перевірки рівності ${\displaystyle f(ab)=f(a)\cdot f(b)}$ досить перевірити його на парах базисних елементів, що також тривіально. Таким чином, група Галуа даного розширення — 4-група Клейна:

${\displaystyle G=\{1,f,g,fg\}}$

Вона має три нетривіальні підгрупи:

• Автоморфізми з підгрупи {1, f} фіксують елементи проміжного поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$.
• Автоморфізми з {1, g} фіксують ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$.
• Автоморфізми з {1, fg} фіксують ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {6}})}$.

Ґратка підгруп і підполів

У цьому прикладі група Галуа не є комутативною.

Розглянемо поле розкладу K многочлена ${\displaystyle x^{3}-2}$ над ${\displaystyle \mathbb {Q}$ ;} тобто, ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\omega ,\theta )}$ де θ є кубічним коренем 2, і ω є кубічним коренем 1 (не рівним 1). Наприклад можна взяти ${\displaystyle \theta ={\sqrt[{3}]{2}}}$ (дійсний кубічний корінь), і ${\displaystyle \omega ={\frac {-1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}.}$

Група Галуа ${\displaystyle G={\text{Gal}}(K/\mathbb {Q} )}$ має шість елементів, і є ізоморфною групі перестановок трьох елементів. Її можна згенерувати двома елементами f і g, які визначаються за допомогою їх дії на θ і ω,

${\displaystyle f(\theta )=\omega \theta ,\quad f(\omega )=\omega ,}$

${\displaystyle g(\theta )=\theta ,\quad g(\omega )=\omega ^{2},}$

і тому

${\displaystyle G=\left\{1,f,f^{2},g,gf,gf^{2}\right\}.}$

Підгрупами G і відповідними підполями є:

• Уся група G, що відповідає базовому полю ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ і тривіальна група {1}, що відповідає усьому полю K.

• Підгрупа порядку 3 з елементами ${\displaystyle \{1,f,f^{2}\}.}$ Відповідним підполем є ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega ),}$ яке є розширенням степеня 2 над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (мінімальний многочлен елемента ω є ${\displaystyle x^{2}+x+1}$), що є рівним індексу підгрупи у групі G. Також ця підгрупа є нормальною, і тому відповідне підполе є нормальним розширенням поля ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

• Три підгрупи порядку 2, а саме ${\displaystyle \{1,g\},\{1,gf\}}$ і ${\displaystyle \{1,gf^{2}\},}$. Їм відповідають три підполя ${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta ),\mathbb {Q} (\omega \theta ),\mathbb {Q} (\omega ^{2}\theta ).}$ Ці підполя є розширеннями степеня 3 над ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$. Ці підгрупи не є нормальними у G і тому підполя теж не є нормальними розширеннями над ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ Наприклад, ${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$ містить лише один корінь многочлена ${\displaystyle x^{3}-2,}$.

Нехай ${\displaystyle E=\mathbb {Q} (\lambda )}$ — поле раціональних функцій аргумента ${\displaystyle \lambda }$ і

${\displaystyle G=\left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace \subset {\rm {Aut}}(E)}$.

З операцією композиції відображень ${\displaystyle G}$ є групою ізоморфною ${\displaystyle S_{3}}$. Нехай ${\displaystyle F}$ — фіксоване поле групи ${\displaystyle G}$, тоді ${\displaystyle {\rm {Gal}}(E/F)=G}$.

Якщо ${\displaystyle H}$ є підгрупою ${\displaystyle G}$ то коефіцієнти многочлена

${\displaystyle P(T):=\prod _{h\in H}(T-h)\in E[T]}$

породжують фіксоване поле групи ${\displaystyle H}$. Відповідність Галуа означає, що кожне проміжне поле у ${\displaystyle E/F}$ може бути одержание таким чином. Наприклад якщо ${\displaystyle H=\{\lambda ,1-\lambda \}}$ то фіксованим полем є ${\displaystyle \mathbb {Q} (\lambda (1-\lambda ))}$, якщо ${\displaystyle H=\{\lambda ,1/\lambda \}}$ то фіксованим полем є ${\displaystyle \mathbb {Q} (\lambda +1/\lambda )}$.

Основна теорема зводить питання існування проміжних полів до питання про існування підгруп деякої скінченної групи (так як порядок групи Галуа дорівнює розмірності розширення), багато завдань теорії Галуа вирішуються простим застосуванням основної теореми.

Наприклад, питання про можливість розв'язання рівняння в радикалах зазвичай формулюють так: чи можна записати корені даного многочлена через його коефіцієнти, використовуючи лише арифметичні операції і операцію одержання кореня n-го степеня. Мовою теорії полів це питання можна сформулювати так: розглянемо поле F, породжене коефіцієнтами многочлена і поле E, отримане приєднанням його коренів. Чи існує такий ланцюжок проміжних полів

${\displaystyle E=K_{n}\supset K_{n-1}\supset \ldots \supset K_{1}\supset K_{0}=F}$

що ${\displaystyle K_{i+1}=K_{i}(\alpha )}$, де ${\displaystyle \alpha }$ — корінь рівняння ${\displaystyle x^{n}-a,a\in K_{i}}$, причому поле ${\displaystyle K_{i}}$ містить всі корені рівняння ${\displaystyle x^{n}-1}$. В цьому випадку можна довести, що відповідний ряд підгруп групи Галуа має властивість, що факторгрупа ${\displaystyle G_{i}/G_{i-1}}$ існує і є циклічною. Групи, для яких існує хоча б один ряд з такою властивістю, називаються розв'язними. Таким чином, рівняння розв'язується в радикалах тоді і тільки тоді, коли його група Галуа є розв'язною. Такі теорії, як теорія Куммера і теорія полів класів, ґрунтуються на фундаментальній теоремі теорії Галуа.

• Група Галуа
• Нормальне розширення
• Розширення Галуа
• Сепарабельне розширення
• Теорія Галуа

• Дрозд Ю. А. (1997). Теорія Галуа. Київ: РВЦ “Київський університет„. ISBN 966-594-022-8. (укр.)
• Е. Артін, Теорія Галуа; пер. з нім. (В.А. Вишенського). - Київ : Радянська школа, 1963. - 98 с. (укр.)
• Garling, D.J.H. (1986). A Course in Galois Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31249-3.
• Howie, John Mackintosh (2006), Fields and Galois Theory, London: Springer, ISBN 1852339861