Група автоморфізмів

Якщо X — множина без додаткових структур, тоді довільна бієкція X → X є автоморфізмом, і групою автоморфізмів X є симетрична група від X (група перестановок).

Якщо X має додаткові структури і, можливо, що не всі бієкції зберігають цю структуру, тоді, групою автоморфізмів буде підгрупа симетричної групи X.

Приклади

• Група автоморфізмів розширення поля ${\displaystyle L/K}$ — група з автоморфізмів поля L що не рухає K. Якщо розширення поля є розширення Галуа, група автоморфізмів називається групою Галуа цього розширення.
• Група автоморфізмів проективного n-простору над полем k є проективна група ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k).}$
• Група автоморфізмів ${\displaystyle G}$ скінченної циклічної групи порядку n є ізоморфною до ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ з ізоморфізмом ${\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}}$. Зокрема, ${\displaystyle G}$ — абелева група.

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)