Абелеве розширення

В абстрактній алгебрі абелеве розширення поля — розширення Галуа, для якого група Галуа є абелевою. Важливим частковим прикладом є циклічне розширення, для якого група Галуа є циклічною.

Наприклад розширення ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]}$ є абелевим. Його група Галуа складається з двох елементів і є абелевою. Нетривіальний автоморфізм переставляє місцями числа ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ і ${\displaystyle -{\sqrt {2}}.}$

Натомість розширення ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}},{\sqrt {3}}i]}$ не є абелевим. Дане поле є полем розкладу многочлена ${\displaystyle x^{3}-2}$ і його автоморфізми, що фіксують ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ переставляють різні корені цього многочлена. Тому група Галуа цього розширення є симетричною групою порядку 3 і не є абелевою.

Довільне скінченне розширення скінченного поля є циклічним розширенням. Важливим прикладом абелевого розширення є циклотомічні (кругові розширення), що одержуються приєднанням до поля коренів з одиниці. У випадку поля раціональних чисел, внаслідок такого розширення одержуються кругові поля. Згідно з теоремою Кронекера — Вебера довільне абелеве розширення раціональних чисел є підполем деякого кругового поля.

Якщо поле містить первісний корінь з одиниці степеня n, то розширення одержане приєднанням до нього кореня степеня n з деякого елемента (розширення Куммера) є абелевим розширенням. Для загального випадку це твердження не є вірним.