Символічний степінь простого ідеала

В алгебрі, для кільця R і простого ідеала , символічним степенем порядку n ідеала називається ідеал

Висловлюючись термінологією алгебричної геометрії символічний степінь складається з функцій з нулями порядку n на многовиді визначеному .

Властивості

  • Виконуються рівності: і якщо є максимальним ідеалом, то .
  • Символічний степінь є найменшим -примарним ідеалом, що містить ідеал .
  • Якщо кільце R є нетеровим, тоді символічний степінь є -примарною компонентою в примарному розкладі ідеала .
  • Якщо кільце R є нетеровим і для деякого простого ідеала виконується рівність то ідеал є мінімальним простим ідеалом, тобто мінімальним елементом у множині простих елементів впорядкованій щодо включення.
Справді тоді і тільки тоді коли Оскільки є модулем над кільцем і то ми отримуємо і з леми Накаями випливає, що З останньої рівності, зокрема, випливає що всі елементи простого ідеала є нільпотентними, тобто містяться в нільрадикалі кільця. Оскільки навпаки кожен простий ідеал містить нільрадикал, то і тому є мінімальним простим ідеалом у кільці і, як наслідок, є мінімальним простим ідеалом у кільці R.
  • Якщо є простими ідеалами регулярного кільця R, то також

Приклад

Нехай кільце і надалі позначатиме клас многочлена f у фактор кільці A.

Нехай (тобто ідеал породжений двома вказаними елементами). Даний ідеал є простим у кільці A. Неважко переконатися, що але натомість (дійсно і ). Натомість і тому для даного кільця є послідовність строгих включень ідеалів

Посилання

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.