Символічний степінь простого ідеала

• Виконуються рівності: ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{(1)}={\mathfrak {p}}}$ і якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ є максимальним ідеалом, то ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{(n)}={\mathfrak {p}}^{n}}$.
• Символічний степінь є найменшим ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-примарним ідеалом, що містить ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{n}}$.
• Якщо кільце R є нетеровим, тоді символічний степінь є ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-примарною компонентою в примарному розкладі ідеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{n}}$.
• Якщо кільце R є нетеровим і для деякого простого ідеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ виконується рівність ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{(k)}={\mathfrak {p}}^{(k+1)},}$ то ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ є мінімальним простим ідеалом, тобто мінімальним елементом у множині простих елементів впорядкованій щодо включення.

Справді ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{(k)}={\mathfrak {p}}^{(k+1)},}$ тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{k}R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{k+1}R_{\mathfrak {p}}.}$ Оскільки ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{k}R_{\mathfrak {p}}}$ є модулем над кільцем ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{k+1}R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{k}R_{\mathfrak {p}}}$ то ми отримуємо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{k}R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{k}R_{\mathfrak {p}}}$ і з леми Накаями випливає, що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{k}R_{\mathfrak {p}}=\{0\}.}$ З останньої рівності, зокрема, випливає що всі елементи простого ідеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$ є нільпотентними, тобто містяться в нільрадикалі кільця. Оскільки навпаки кожен простий ідеал містить нільрадикал, то ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}={\sqrt {0}}}$ і тому ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$ є мінімальним простим ідеалом у кільці ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ і, як наслідок, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ є мінімальним простим ідеалом у кільці R.

• Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {q}}}$ є простими ідеалами регулярного кільця R, то також ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{(n)}\subseteq {\mathfrak {q}}^{(n)}.}$

Нехай кільце ${\displaystyle A:=\mathbb {C} [x,y,z]/(xy-z^{2})}$ і ${\displaystyle {\bar {f}}}$ надалі позначатиме клас многочлена f у фактор кільці A.

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {p}}:=({\bar {x}},{\bar {z}})}$ (тобто ідеал породжений двома вказаними елементами). Даний ідеал є простим у кільці A. Неважко переконатися, що ${\displaystyle {\bar {x}}\not \in {\mathfrak {p}}^{2}}$ але натомість ${\displaystyle {\bar {x}}\in {\mathfrak {p}}^{(2)}}$ (дійсно ${\displaystyle {\bar {y}}\in A\setminus {\mathfrak {p}}}$ і ${\displaystyle {\bar {x}}{\bar {y}}={\bar {z}}^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}}$). Натомість ${\displaystyle {\bar {z}}\not \in {\mathfrak {p}}^{(2)}}$ і тому для даного кільця є послідовність строгих включень ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\supset {\mathfrak {p}}^{(2)}\supset {\mathfrak {p}}^{2}.}$

• Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії
• Melvin Hochster. Math 711: Lecture of September 7, 2007