Лема Накаями

Доведення леми. Нехай ${\displaystyle m_{1},m_{2},...,m_{n}}$ — твірні модуля M. Так як M = IM, кожен з них задовольняє рівність:

${\displaystyle m_{i}=a_{i1}m_{1}+a_{i2}m_{2}+\dots +a_{in}m_{n}}$, де ${\displaystyle a_{ij}}$ — елементи ідеалу I. Тобто ${\displaystyle \sum \limits _{j}(\delta _{ij}-a_{ij})m_{j}=0}$.

З формули Крамера для цієї системи випливає, що для довільного j

${\displaystyle \operatorname {det} (\delta _{ij}-a_{ij})\cdot m_{j}=0}$.

Так як ${\displaystyle \operatorname {det} (\delta _{ij}-a_{ij})}$ рівний 1 — a, для деякого a, що належить ідеалу I, лема доведена.

Наступний наслідок з доведеного твердження також відомий як лема Накаями:

Наслідок 1: Якщо в умовах леми ідеал I має властивість, що для кожного його елемента a елемент 1 — a є оборотним (наприклад, це так, якщо I міститься в радикалі Джекобсона), необхідно повинно бути M = 0.

Доведення. Існує елемент a ідеалу I, такий що ${\displaystyle am=m,\,\forall m\in M}$, отже, ${\displaystyle (a-1)m=0,\,\forall m\in M}$, домножимо зліва на елемент, обернений до 1 — a, одержуємо, що M = 0.

Нехай R — локальне кільце, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ — максимальний ідеал в R, M — скінченнопороджений R — модуль, і ${\displaystyle \phi :M\to M/{\mathfrak {m}}M}$ — гомоморфізм факторизації. Лема Накаями дає зручний засіб для переходу від модуля M над локальним кільцем R до фактор-модуля ${\displaystyle M/{\mathfrak {m}}M}$, який є скінченновимірним лінійним простором над полем ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$. Наступне твердження також вважається однією з форм леми Накаями, для цього випадку:

Доведення. Нехай S — підмодуль в M, породжений елементами ${\displaystyle m_{1},m_{2},...,m_{n}}$, Q = M/S — фактор-модуль і ${\displaystyle \pi :M\to Q}$ — гомоморфізм факторизації. Так як ${\displaystyle \,\phi (m_{1}),\phi (m_{2}),...,\phi (m_{n})}$ породжують фактор-модуль ${\displaystyle M/{\mathfrak {m}}M}$, це означає, що для всякого ${\displaystyle m\in M}$ існує ${\displaystyle s\in S}$, такий що ${\displaystyle m+s\in {\mathfrak {m}}M}$. Тоді ${\displaystyle \pi (m)=\pi (m+s)\in {\mathfrak {m}}Q}$. Оскільки ${\displaystyle \pi }$ сюр'ективне, це означає, що ${\displaystyle Q={\mathfrak {m}}Q}$. Згідно леми Накаями (точніше, згідно Наслідку 1) Q = 0, тобто S = M.

Справедливим є ще один варіант леми Накаями для модулів над локальними кільцями:

На основі цієї форми леми Накаями виводиться наступна важлива теорема:

Ще одним важливим наслідком леми Накаями є таке твердження: Нехай I — скінченнопороджений ідеал в комутативному кільці R і при цьому I не рівний самому кільцю і нульовому ідеалу. Тоді якщо I I = I (тобто ідеал рівний своєму квадрату), то ідеал I — головний, при чому елемент, що його породжує є ідемпотентним.

Справді оскільки скінченнопороджений ідеал є за означенням також скінченнопородженим модулем згідно леми Накаями, якщо I I = I то існує елемент e ∈ I такий, що ${\displaystyle em=m,\,\forall m\in I}$. Звідси також e e = e тобто елемент e є ідемпотентом і R e є підмножиною I оскільки e ∈ I. Звідси I = R e.

Як наслідок жоден ненульовий власний скінченнопороджений ідеал області цілісності не рівний своєму квадату. Зокрема у кільці Нетер всі ненульові власні ідеали не рівні своєму квадрату.