Регулярне локальне кільце

Регулярне локальне кільце нетерове локальне кільце, таке що число твірних його максимального ідеалу збігається з розмірністю Круля кільця. Назва регулярне пояснюється геометричними причинами. Точка алгебраїчного многовида є неособливою (регулярною) тоді і тільки тоді, коли локальне кільце ростків раціональних функцій в точці є регулярним.

Визначення

Регулярні локальні кільця

Існує кілька еквівалентних визначень регулярного локального кільця. Зокрема, якщо  — нетерове локальне кільце з максимальним ідеалом , такі визначення еквівалентні:

  • Нехай де вибрано настільки малим, наскільки це можливо (в будь-якому випадку, n не може бути меншим розмірності Круля). є регулярним, якщо
  • Нехай  — поле лишків кільця . Тоді є регулярним, якщо
,
Тут перша розмірність  — розмірність векторного простору, а друга  — розмірність Круля.
,
У цьому випадку завжди збігається з розмірністю Круля.

Множина твірних максимального ідеалу кількість елементів якої рівна розмірності Круля називається регулярною системою твірних.

Регулярні кільця

Кільце A називається регулярним, якщо його локалізація по довільному простому ідеалу  — регулярне локальне кільце.

Інше нееквівалентне означення регулярного кільця дав Серр. Згідно цього означення комутативне кільце називається регулярним, якщо воно має скінченну глобальну розмірність. Регулярне в сенсі Серра кільце є регулярним але не обов'язково навпаки.

Приклади

  • Будь-яке поле  — регулярне локальне кільце. Насправді, поля  — це всі регулярні локальні кільця розмірності 0.
  • Регулярні локальні кільця розмірності 1  — це кільця дискретного нормування. Зокрема, кільце формальних степеневих рядів (k  — довільне поле) є регулярним локальним кільцем. Інший приклад  — кільце p-адичних чисел.
  • Більш загально, кільце формальних степеневих рядів — регулярне локальне кільце розмірності d .
  • Всі кільця Дедекінда є регулярними.
  • Нехай R — локалізація кільця де k  — поле по максимальному ідеалу Тоді R не є регулярним локальним кільцем. У цьому випадку оскільки а не є дільником нуля у кільці Натомість є мінімальною породжуючою множиною.

Властивості

,
де , а  розмірність Круля. Це твердження є найважливішим частковим випадком структурної теореми Коена, що описує будову усіх повних регулярних кілець.
  • Асоційоване градуйоване кільце є ізоморфним кільцю многочленів де
  • Регулярне локальне кільце є областю цілісності.
  • Якщо A  — регулярне кільце, то кільце многочленів і кільце формальних степеневих рядів є регулярними.
  • Будь-яка локалізація регулярного кільця є регулярним кільцем. Наприклад,  — двовимірне регулярне кільце, яке не містить ніякого поля.
  • Поповнення регулярного кільця є регулярним.
  • Нехай A — регулярне локальне кільце і  — його простий ідеал. Кільце є регулярним локальним кільцем тоді і тільки тоді коли ідеал породжується деякою підмножиною системи регулярних твірних. Якщо кількість цих елементів рівна t, а розмірність A рівна n то розмірність рівна n t.

Застосування в алгебраїчній геометрії

Визначення регулярного локального кільця було дано Вольфгангом Крулем в 1937 році,[1] проте вони стали відомими завдяки роботам Оскара Зариського,[2][3] який довів що регулярні локальні кільця відповідають гладким точкам алгебраїчних многовидів.

Нехай Y  алгебраїчний многовид, що міститься в n-вимірному афінному просторі над досконалим полем, і визначається як множина загальних нулів многочленів (від n змінних) f1,…,fm. Y є особливим у точці P, якщо ранг матриці Якобі (матриці (∂fi/∂xj)) в цій точці є меншим, ніж в іншій точці многовида. Розмірність многовида дорівнює різниці n і рангу матриці Якобі в неособливих точках. Зариський довів, що матриця Якобі в точці P є неособливою тоді і тільки тоді, коли локальне кільце многовида Y в P є регулярним. Зариський також зауважив, що це не обов'язково вірно для недосконалих полів.) З цього випливає, що гладкість є внутрішньою властивістю многовида, тобто не залежить від конкретного вкладення многовида в афінний простір.

Див. також

Посилання

Примітки

  1. Krull, Wolfgang (1937). Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III. Math. Z.: 745–766.
  2. Zariski, Oscar (1940). Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0. Amer. J. Math. 62: 187–221.
  3. Zariski, Oscar (1947). The concept of a simple point of an abstract algebraic variety. Trans. Amer. Math. Soc. 62: 1–52.

Література

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.