Регулярне локальне кільце

Регулярне локальне кільце — нетерове локальне кільце, таке що число твірних його максимального ідеалу збігається з розмірністю Круля кільця. Назва регулярне пояснюється геометричними причинами. Точка $x$ алгебраїчного многовида $X$ є неособливою (регулярною) тоді і тільки тоді, коли локальне кільце ${\mathcal {O}}_{X,x}$ ростків раціональних функцій в точці $x$ є регулярним.

Визначення

Регулярні локальні кільця

Існує кілька еквівалентних визначень регулярного локального кільця. Зокрема, якщо $A$ — нетерове локальне кільце з максимальним ідеалом ${\mathfrak {m}}$ , такі визначення еквівалентні:

Нехай ${\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ де $n$ вибрано настільки малим, наскільки це можливо (в будь-якому випадку, n не може бути меншим розмірності Круля). $A$ є регулярним, якщо

{\mbox{dim}}A=n.

Нехай $k=A/{\mathfrak {m}}$ — поле лишків кільця $A$ . Тоді $A$ є регулярним, якщо

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A

,

Тут перша розмірність — розмірність векторного простору, а друга — розмірність Круля.

Нехай ${\mbox{gl dim}}A$ — глобальна розмірність $A$ (тобто супремум проективних розмірностей всіх $A$ -модулів.) Тоді $A$ є регулярним, якщо

{\mbox{gl dim}}A<\infty

,

У цьому випадку

{\mbox{gl dim}}A

завжди збігається з розмірністю Круля.

Множина твірних максимального ідеалу кількість елементів якої рівна розмірності Круля називається регулярною системою твірних.

Регулярні кільця

Кільце A називається регулярним, якщо його локалізація по довільному простому ідеалу — регулярне локальне кільце.

Інше нееквівалентне означення регулярного кільця дав Серр. Згідно цього означення комутативне кільце називається регулярним, якщо воно має скінченну глобальну розмірність. Регулярне в сенсі Серра кільце є регулярним але не обов'язково навпаки.

Приклади

Будь-яке поле — регулярне локальне кільце. Насправді, поля — це всі регулярні локальні кільця розмірності 0.
Регулярні локальні кільця розмірності 1 — це кільця дискретного нормування. Зокрема, кільце формальних степеневих рядів $k[[x]]$ (k — довільне поле) є регулярним локальним кільцем. Інший приклад — кільце p-адичних чисел.
Більш загально, кільце формальних степеневих рядів $k[[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{d}]]$ — регулярне локальне кільце розмірності d .
Всі кільця Дедекінда є регулярними.
Нехай R — локалізація кільця ${\frac {k[X,Y]}{(X^{3}-Y^{2})}},$ де k — поле по максимальному ідеалу ${\mathfrak {m}}=({\bar {X}},{\bar {Y}}).$ Тоді R не є регулярним локальним кільцем. У цьому випадку $\dim R=\operatorname {ht} {\mathfrak {m}}=1$ оскільки $\operatorname {ht} (X,Y)=2,$ а $X^{3}-Y^{2}$ не є дільником нуля у кільці $k[X,Y].$ Натомість $({\bar {X}},{\bar {Y}})$ є мінімальною породжуючою множиною.

Властивості

Теорема Аусландера — Бухсбаума стверджує, що кожне регулярне локальне кільце є факторіальним кільцем.
Якщо $(A,{\mathfrak {m}})$ — повне регулярне локальне кільце, що містить деяке поле, то

A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]

,

де

k=A/{\mathfrak {m}}

, а

d

— розмірність Круля. Це твердження є найважливішим частковим випадком структурної теореми Коена, що описує будову усіх повних регулярних кілець.

Асоційоване градуйоване кільце $\operatorname {Gr} (A)=\bigoplus _{n\geqslant 0}({\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1})$ є ізоморфним кільцю многочленів $k[X_{1},...,X_{n}],$ де $k=A/{\mathfrak {m}}.$
Регулярне локальне кільце є областю цілісності.
Якщо A — регулярне кільце, то кільце многочленів $A[x]$ і кільце формальних степеневих рядів $A[[x]]$ є регулярними.
Будь-яка локалізація регулярного кільця є регулярним кільцем. Наприклад, $\mathbb {Z} [x]_{(2,x)}$ — двовимірне регулярне кільце, яке не містить ніякого поля.
Поповнення регулярного кільця є регулярним.
Нехай A — регулярне локальне кільце і ${\mathfrak {p}}$ — його простий ідеал. Кільце $A/{\mathfrak {p}}$ є регулярним локальним кільцем тоді і тільки тоді коли ідеал ${\mathfrak {p}}$ породжується деякою підмножиною системи регулярних твірних. Якщо кількість цих елементів рівна t, а розмірність A рівна n то розмірність $A/{\mathfrak {p}}$ рівна n — t.

Застосування в алгебраїчній геометрії

Визначення регулярного локального кільця було дано Вольфгангом Крулем в 1937 році,[1] проте вони стали відомими завдяки роботам Оскара Зариського,[2][3] який довів що регулярні локальні кільця відповідають гладким точкам алгебраїчних многовидів.

Нехай Y — алгебраїчний многовид, що міститься в n-вимірному афінному просторі над досконалим полем, і визначається як множина загальних нулів многочленів (від n змінних) f₁,…,f_m. Y є особливим у точці P, якщо ранг матриці Якобі (матриці (∂f_i/∂x_j)) в цій точці є меншим, ніж в іншій точці многовида. Розмірність многовида дорівнює різниці n і рангу матриці Якобі в неособливих точках. Зариський довів, що матриця Якобі в точці P є неособливою тоді і тільки тоді, коли локальне кільце многовида Y в P є регулярним. Зариський також зауважив, що це не обов'язково вірно для недосконалих полів.) З цього випливає, що гладкість є внутрішньою властивістю многовида, тобто не залежить від конкретного вкладення многовида в афінний простір.

Див. також

Посилання

Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії

Примітки

Krull, Wolfgang (1937). Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III. Math. Z.: 745–766.
Zariski, Oscar (1940). Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0. Amer. J. Math. 62: 187–221.
Zariski, Oscar (1947). The concept of a simple point of an abstract algebraic variety. Trans. Amer. Math. Soc. 62: 1–52.

Література

Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707.(рос.)
Jean-Pierre Serre , Local algebra, Springer-Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66641-9. Chapter IV.D.
Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Krull, Wolfgang (1937). Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III. Math. Z.: 745–766.

[2] Zariski, Oscar (1940). Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0. Amer. J. Math. 62: 187–221.

[3] Zariski, Oscar (1947). The concept of a simple point of an abstract algebraic variety. Trans. Amer. Math. Soc. 62: 1–52.