Мінімальний простий ідеал
В абстрактній алгебрі простий ідеал P називається мінімальним простим ідеалом над ідеалом I якщо він є мінімальним (щодо включення) простим ідеалом, що містить I. Зокрема якщо I є простим ідеалом, то I є єдиним мінімальним простим ідеалом над собою. Простий ідеал називається мінімальним простим ідеалом якщо він є мінімальним простим ідеалом над нульовим ідеалом.
Приклади
- В комутативному кільці Артіна довільний максимальний ідеал є мінімальним простим ідеалом.
- В області цілісності єдиним мінімальним простим ідеалом є нульовий ідеал.
- В кільці цілих чисел Z, мінімальними простими ідеалами, що містять головний ідеал (n) є головні ідеали (p), де p є простими дільниками n. Єдиним мінімальним простим ідеалом є сам нульовий ідеал, оскільки цілі числа є областю цілісності. Подібні твердження справедливі і для довільного кільця головних ідеалів.
- Якщо I є p-примарним ідеалом (наприклад степінь p), доді p є єдиним мінімальним простим ідеалом над I.
- Ідеали і є мінімальними простими ідеалами в кільці оскільки вони містять нульовий ідеал (який не є простим, оскільки , але ні ні не є елементами нульового ідеалу) і не містяться в жодному іншому простому ідеалу.
- В кільці мінімальними простими ідеалами над ідеалом є ідеали і .
Властивості
Всі ідеали нижче вважаються комутативними і містять одиничний елемент.
- Кожен власний ідеал I в кільці має хоча б один мінімальний простий ідеал над I. Доведення є типовим використанням леми Цорна.[1] Будь-який максимальний ідеал, що містить I є простим тому множина простих ідеалів, що містять I є непустою. Перетин спадної послідовності простих ідеалів є простим ідеалом. Тому згідно леми Цорна множина простих ідеалів, що містять I має мінімальний елемент, що є мінімальним простим ідеалом над I.
- В нетеровому кільці, над кожним ідеалом є лише скінченна кількість мінімальних простих ідеалів.[2][3]
- Позначимо множину всіх ідеалів нетерового кільця для яких множина всіх мінімальних простих ідеалів є нескінченною. Припустимо, що . Тоді ця множина має максимальний елемент .
- Ідеал очевидно не є простим і тому . Оскільки є нетеровим кільцем то кожен його ідеал є скінченнопородженим і зокрема
- Позначимо , Тоді і також Оскільки є максимальним елементом у то множини і є скінченними.
- Нехай тепер , і оскільки і є простим ідеалом, то або Звідси за означеннями або . Тобто належить або Як наслідок або має бути нескінченною множиною. Але це суперечить максимальності ідеалу і завершує доведення.
- Радикал ідеалу є рівним перетину мінімальних простих ідеалів над I.[4]
- Нехай — мінімальний простий ідеал кільця . Кожен елемент максимального ідеалу локалізації є нільпотентним. Якщо є редукованим кільцем, то є полем.
- Якщо не є нільпотентним то існує простий ідеал кільця , що не містить (оскільки перетин простих ідеалів є рівним нільрадикалу). Але тоді у існує простий ідеал, що є власною підмножиною і це суперечить мінімальності останнього. Якщо є редукованим кільцем, то таким є і тобто єдиним нільпотентним елементом є 0 і з попереднього Тобто є полем.
- Усі елементи довільного мінімального простого ідеалу є дільниками нуля.[5] Якщо кільце є редукованим, то навпаки кожен дільник нуля є елементом деякого мінімального простого ідеалу.
- Нехай мінімальний простий ідеал кільця . Розглянемо мультиплікативну множину породжену множинами і де є множиною всіх дільників нуля у (включно і з Тоді (якщо то мало б бути Тому існує ідеал який є максимальний з ідеалів, що не містить До того ж є простим (теорема віддільності у статті Простий ідеал). Але тому і з мінімальності випливає, що тобто всі елементи є дільниками нуля.
- Для редукованого кільця якщо xy = 0 і то існує мінімальний простий ідеал якому не належить y. Тоді
- Простий ідеал кільця R є єдиним мінімальним простим ідеалом над ідеалом I якщо і тільки якщо . Ідеал I є -примарним якщо є максимальним. За допомогою цього можна отримати локальний критерій: простий ідеал є мінімальним простим над I якщо і тільки якщо є -примарним ідеалом. Якщо R є нетеровим кільцем, є мінімальним простим над I якщо і тільки якщо є кільцем Артіна. Прообраз при гомоморфізмі є примарним ідеалом кільця який називається -примарною компонентою ідеалу I.
Див. також
Примітки
- Kaplansky, 1974, p. 6
- Kaplansky, 1974, p. 59
- Eisenbud, 1995, p. 47
- Kaplansky, 1974, p. 16
- Kaplansky, 1974, p. 57
Література
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.