Степінь трансцендентності

Степінь трансцендентності розширення поля ${\displaystyle L/K}$ це найбільша потужність підмножини поля ${\displaystyle L}$, що є алгебраїчно незалежною щодо поля ${\displaystyle K}$.

Розширення ${\displaystyle L/K}$ є трансцендентним тоді й лише тоді, коли поле ${\displaystyle L}$ містить елементи, трансцендентні над ${\displaystyle K}$, тобто елементи, що не є коренем ніякого алгебраїчного рівняння з коефіцієнтами з ${\displaystyle K}$.

Відповідно розширення є алгебричним тоді й лише тоді коли його степінь трансцендентності рівний нулю.

Якщо ${\displaystyle X}$ — максимальна множина, всі елементи якої алгебраїчно незалежні, то ${\displaystyle X}$ називається базисом трансцендентності поля ${\displaystyle L}$ над ${\displaystyle K}$. Усі базиси трансцендентності мають однакову потужність, що рівна степеню трансцендентності розширення.

Для полів ${\displaystyle M\supset L\supset K}$ степінь трансцендентності ${\displaystyle M/K}$ рівний сумі степенів трансцендентності ${\displaystyle M/L}$ та ${\displaystyle L/K}$. Якщо всі елементи множини ${\displaystyle X}$ алгебраїчно незалежні, то розширення до ${\displaystyle K(X)}$ називається чисто трансцендентним. В цьому випадку поле ${\displaystyle K(X)}$ ізоморфне полю раціональних функцій від множини змінних ${\displaystyle X}$ над ${\displaystyle K}$.