Температурне напруження

Якщо в тілі температура змінюється на величину ${\displaystyle T}$, то елемент довжини ${\displaystyle ds}$ матиме нову довжину ${\displaystyle (1+\alpha T)ds}$ за умови, що окремі елементи обсягу не зустрічають перешкод при розширенні, а отже, не виникають температурні напруги. Величину ${\displaystyle \alpha }$ називають коефіцієнтом теплового розширення.

Тензор деформації в декартових координатах для однорідного та ізотропного тіла приймає простий вигляд

${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\alpha T\delta _{ij}}$ .

Однак якщо температура змінюється не одночасно у всьому тілі, то його частини починають розширюватися нерівномірно. Внаслідок цього виникають температурні напруження ${\displaystyle \sigma _{ij}}$, що обумовлюють додаткові подовження і зрушення відповідно до формул класичної теорії пружності:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2G}}\left(\sigma _{ij}-{\frac {\mu }{1+\mu }}\sigma _{kk}\delta _{ij}\right)+\alpha T\delta _{ij}}$ ,

де ${\displaystyle G}$ — модуль зсуву, ${\displaystyle \mu }$ — коефіцієнт Пуассона .

У відсутності масових сил система рівнянь замикається умовою рівноваги:

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{i}}}=0}$ .

У наведених формулах мається на увазі угода Ейнштейна про підсумовування за повторюваними індексами.

У феноменологічній механіці суцільного середовища для отримання рівнянь Нав'є — Стокса використовуються закони Ньютона. У загальному вигляді тензор напружень ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ залежить від коефіцієнтів в'язкості ${\displaystyle \mu }$ і другої в'язкості ${\displaystyle \zeta }$ :

${\displaystyle \sigma _{ij}=p\delta _{ij}-\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}\delta _{ij}\right)-\zeta {\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}\delta _{ij}}$ .

Бачимо, що в рамках класичної газодинаміки розподіл температури не впливає на механічні напруження. Вперше кінетичний розгляд проблеми виконав Джеймс Максвелл в 1879 році, показавши, що в розрідженому газі можуть виникати напруги, обумовлені неоднорідністю розподілу температури:

${\displaystyle \sigma _{ij}\sim {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$ і ${\displaystyle \sigma _{ij}\sim {\frac {\partial T}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial T}{\partial x_{j}}}}$ .

При асимптотичному аналізі рівняння Больцмана можна виділити два типи течій газу першого порядку малості по числу Кнудсена, викликані температурними напругами. Це теплове ковзання уздовж твердого кордону і термостресова конвекція. Тому для більш точного опису газу доводиться коригувати як самі рівняння Нав'є — Стокса, так і граничні умови.

• Мелан Е., Паркус Г. Температурные напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. — М. : «Физматгиз», 1958. — 167 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. В 10 т. Том VII. Теория упругости. — М. : «Физматлит», 2003. — 264 с. — ISBN 5-9221-0122-6.
• Maxwell J. C. On stresses in rarefied gases arising from inequalities of temperature // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. — 1879. — № 5. — С. 231—256.
• Sone Y. Kinetic theory and fluid dynamics. — Birkhäuser, 2002. — 354 с. — ISBN 978-0-8176-4284-6.