Тензор кручення

Тензором кручення в диференціальній геометрії називається векторозначний тензор, що кожній парі векторних полів класу , заданих на деякому гладкому многовиді з введеною афінною зв'язністю присвоює векторне поле класу . Разом із тензором кривини тензор кручення є одним з головних інваріантів афінної зв'язності. Зокрема тензор кручення відіграє дуже важливу роль у вивченні геометрії геодезичних ліній на многовидах.

Означення

За допомогою афінної зв'язності

Нехай є диференційовним многовидом разом з визначеною на ньому афінною зв'язністю . Тензор кручення задається як векторозначне тензорне поле, що визначається рівністю:

Тут — векторні поля, а дужки Лі.

За допомогою диференціальних форм

Нехай векторні поля є локальним базисом із -векторних полів дотичного розшарування для деякої відкритої підмножини і є двоїстими -диференціальними формами. Для афінної зв'язності позначимо диференціальні форми для яких

Тоді є теж диференційовними формами класу .

Задамо також векторозначний тензор через його компоненти як де є дійснозначними тензорами аргументами яких є вектори (в якійсь точці) чи векторні поля (для усієї множини ).

Тоді із компонентами є тензором кручення тоді і тільки тоді коли виконуються рівності

де позначає зовнішню похідну диференційної форми, а зовнішній добуток диференціальних форм.

Відповідно, якщо є довільними гладкими диференціальними формами на , то вони задають афінну зв'язність і для цієї зв'язності задані вище є компонентами тензора кручення.

Через компоненти в локальних координатах

Нехай векторні поля є локальним базисом із -векторних полів дотичного розшарування для деякої відкритої підмножини .

Нехай позначає компоненти тензора кручення, так що або використовуючи позначення вище .

Позначимо також — символи Крістофеля (тобто, наприклад, і ) і коефіцієнти , що одержуються із розкладу для дужок Лі .

Компоненти тензора кручення в локальних координатах запишуться через формулу:

. Якщо локальним базисом є, наприклад координатний базис, то і для компонент тензора кручення справедлива формула:

Відповідно якщо символи Крістофеля задають афінну зв'язність, то визначені як вище є компонентами відповідного тензора кручення.

Властивості

З властивостей афінних зв'язностей і дужок Лі одразу одержуються наступні властивості тензора кручень:

  • Тензор кручення є кососиметричним, тобто:
  • Тензор кручення є білінійним:
  • Для довільної гладкої на многовиді функції f:

Геодезичні лінії і різниці зв'язностей

Нехай γ(t) є кривою на многовиді M із афінною зв'язністю ∇. Тоді γ називається геодезичною лінією для ∇ якщо

для всіх t із області визначення γ. Тут задає векторне поле вздовж кривої γ. Кожна геодезична лінія однозначно задається дотичним вектором у початковій точці t = 0.

Дві афінні зв'язності ∇ і ∇ мають одні і ті ж геодезичні лінії тоді і лише тоді коли вони умовно кажучи відрізняються лише тензором кручення.

Більш формально нехай X і Y є векторними полями в околі точки pM і

є різницею двох зв'язностей. У точці p Δ залежить лише від значень X і Y у p, тож загалом Δ є тензором на M. Нехай S і A є симетричною і кососиметричною частиною Δ:

Тоді

  • є різницею тензорів кручень двох зв'язностей.
  • Зв'язності ∇ і ∇ мають однакові геодезичні лінії якщо і тільки якщо S(X, Y) = 0. Еквівалентним твердженням є те, що для всіх векторів X із дотичного розшарування TM виконується рівність Δ (X, X) = 0.

Відповідно симетрична частина різниці зв'язностей визначає чи мають вони однакові геодезичні лінії. Якщо всі геодезичні лінії є однаковими то різниця між зв'язностями повністю визначається різницею між їх тензорами кручення. Зокрема якщо дві зв'язності мають однакові геодезичні лінії і тензори кручення то вони є однаковими.

Також у кожному класі зв'язностей із однаковими геодезичними лініями завжди існує зв'язність для якої тензор кручення є нульовим.

Зв'язок з тензором кривини і тотожності Біанкі

Тензором кривини афінної зв'язності ∇ називається відображення TM × TM → End(TM), що кожній парі векторних полів X, Y присвоює лінійне перетворення, дія якого на векторному полі Z визначається як:

Значення тензора кривини, як і тензора кручень в кожній точці залежить лише від значення векторів у цій точці, а не всіх векторних полів. Нехай позначає циклічну суму по X, Y, and Z. Наприклад:

Тензори кривини і кручень пов'язані такими рівностями, що називаються тотожностями Біанкі:

1. Перша тотожність Біанкі:

2. Друга тотожність Біанкі:

Див. також

Джерела

  • Hicks, Noel (1965). Notes on Differential Geometry. Van Nostrand, Princeton, N. J.,. ISBN 0442034105. (англ.)
  • Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9. (англ.)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.