Теорема Акідзукі — Хопкінса — Левицького

Якщо для модуля M існує скінченний композиційний ряд то довжина цього ряду є рівною довжині модуля M, тобто максимуму із довжин усіх строго спадних чи зростаючих послідовностей підмодулів M. Зокрема у M не може бути нескінченної строго спадної чи строго зростаючої послідовності підмодулів і M є модулем Нетер і модулем Артіна.

Нехай J — радикал Джекобсона кільця R і ${\displaystyle F_{i}=J^{i-1}M/J^{i}M}$. R-модуль ${\displaystyle F_{i}}$ можна розглядати як ${\displaystyle R/J}$-модуль і тоді ${\displaystyle F_{i}}$ є напівпростим ${\displaystyle R/J}$-модулем, оскільки ${\displaystyle R/J}$ є напівпростим кільцем, а кожен модуль над напівпростим кільцем є напівпростим. Також оскільки J є нільпотентним ідеалом, лише скінченна кількість із ${\displaystyle F_{i}}$ є ненульовими модулями. Оскільки ${\displaystyle F_{i}}$ є напівпростим, то він є прямою сумою простих ${\displaystyle R/J}$. Якщо модуль M є артиновим або нетеровим, то ця пряма сума є скінченною і для ${\displaystyle F_{i}}$ існує скінченний композиційний ряд. Об'єднуючи композиційні ряди для ${\displaystyle F_{i}}$ одержується композиційний ряд для M.

З теореми 1 відразу випливає, що якщо R є напівпримарним кільцем Нетер, то воно є і кільцем Артіна. Залишається довести, що якщо R є кільцем Артіна, то воно є напівпримарним. Тоді з попередньої теореми випливатиме, що воно є нетеровим.

Нехай R є кільцем Артіна. Потрібно довести, що його радикал Джекобсона J є нільпотентним і кільце R/J є напівпростим.

Розглянемо послідовність степенів радикала ${\displaystyle J^{n}.}$ Оскільки R є кільцем Артіна ця послідовність стабілізується. Нехай всі її члени починаючи з деякого номера є рівними X. Очевидно X² = X. Припустимо ${\displaystyle X\neq 0.}$ Нехай Y — мінімальний елемент множини правих ідеалів ${\displaystyle Z\subset X}$ для яких ${\displaystyle ZX\neq 0.}$ Очевидно ${\displaystyle yX\neq 0}$ для якогось елемента ${\displaystyle y\in Y}$ і ${\displaystyle (yX)X=yX^{2}=yX\neq 0,}$ звідки ${\displaystyle yX=Y.}$ Зокрема існує ${\displaystyle x\in X\subset J}$ для якого ${\displaystyle yx=y}$ або ${\displaystyle y(x-1)=0.}$ Оскільки x є елементом радикала Джекобсона, то 1 - x є оборотним елементом, тож y = 0. Оскільки це не є можливим, то ${\displaystyle X=0,}$ тобто J є нільпотентним ідеалом.

Позначимо тепер A = R/J. Радикал Джекобсона кільця A є рівним нулю, тож перетин всіх правих максимальних ідеалів кільця A є рівним нулю. Оскільки кільце A є артиновим, то можна вибрати скінченну кількість максимальних ідеалів ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n}}$ для яких ${\displaystyle M_{1}\cap \ldots \cap M_{n}=\{0\}.}$ Позначимо ${\displaystyle \psi _{i}}$ проекцію кільця A у фактор-кільце ${\displaystyle A/M_{i}}$ (яке є простим A-модулем). Тоді ${\displaystyle \psi (a)=(\psi _{1}(a),\ldots ,\psi _{n}(a))}$ є мономорфізмом із A у напівпростий модуль ${\displaystyle \oplus _{i=1}^{n}A/M_{i}.}$ Тож A є підмодулем напівпростого модуля і тому теж є напівпростим модулем, тобто напівпростим кільцем.