Теорема Бореля — Каратеодорі

У комплексному аналізі, теорема Бореля — Каратеодорі стверджує, що довільна голоморфна функція може бути обмеженою своєю дійсною частиною. Теорема є застосуванням принципа максимуму модуля. Названа на честь Еміля Бореля і Костянтина Каратеодорі.

Твердження теореми

Нехай — функція, що є гомоморфною на замкнутому крузі радіуса R з центром в початку координат. Припустимо, що r < R. Тоді виконується нерівність:

Норма у лівій частині позначає максимум модуля f у замкнутому крузі:

(остання рівність випливає із принципу максимуму модуля).

Доведення

Визначимо A як

Нехай спершу f(0) = 0. Оскільки Re f є гармонічною функцією, можна вважати A>0 і f є відображенням у півплощину P зліва від прямої x=A. Для доведення знайдемо відображення півплощини в круг, застосуємо лему Шварца після чого отримаємо нерівність.

Відображення переводить P у стандартну ліву півплощину. Відображення переводить стандартну ліву півплощину у круг радіуса R з центром у початку координат. Композиція цих відображень і є необхідним відображенням:

Згідно леми Шварца застосованої до композиції цього відображення і f, маємо

Якщо |z| r то

отож

,

що і треба було довести.

В загальному випадку, попереднє можна застосувати до функції f(z)-f(0):

і після перестановок отримуємо необхідний результат.

Узагальнення для похідних функції

Якщо в умовах теореми також додатково задати умову , то нерівності подібні до нерівностей у попередній теоремі задовольняють також похідні функції. А саме при цих умовах і при позначеннях як вище для всіх :

Доведення

Якщо то з нерівності Бореля — Каратеодорі одержуємо нерівність:

Для всіх для яких згідно інтегральної формули Коші

.

Оскільки тому з першої нерівності у цьому доведенні:

Тоді з виразу інтегральної формули Коші:

Див. також

Література

  • Lang, Serge (1999). Complex Analysis (4th ed.). New York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1.
  • Titchmarsh, E. C. (1938). The theory of functions. Oxford University Press.
  • Viola Carlo (2016). An Introduction to Special Functions. UNITEXT 102 (вид. 1). Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-41344-0.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.