Інтегральна формула Коші

Інтегра́льна фо́рмула Коші́ — одна з головних формул комплексного аналізу, виведена Оґюстеном-Луї Коші. Вона дозволяє виразити значення регулярної функції в будь-якій точці області через значення функції на межі цієї області. Використовується для доведення еквівалентності понять голоморфності (дифереційовності в околі) та аналітичності, а також при обчисленні контурних інтегралів у комплексній площині.

Теорема

Нехай функція диференційовна в області . Якщо скінченна область разом зі своєю межею належить області , а , то

.

Доведення

Підінтегральний вираз є відношенням двох диференційовних функцій, при цьому знаменник обертається в нуль лише при . Тому функція диференційовна в усіх точках області за винятком точки . Візьмемо настільки малим, щоб круг належав області , і позначимо через область , з якої видалено точку , а через область , з якої видалено круг .

Функція диференційовна в області , і область лежить в області разом зі своєю межею (позначимо її через ). Отже, за інтегральною теоремою Коші інтеграл по від дорівнює нулю. Проте складається з С та кола . Інтегрування відбувається проти годинникової стрілки, тому залишається зліва, а круг — справа. Тому, змінивши напрямок інтегрування по колу на протилежне можна стверджувати:

Інтеграл зліва не залежить від . Тому при обчисленні інтеграла в правій частині значення можна обирати довільно. Отже:

Підінтегральний вираз в обмежений при : він прямує до . Так як довжина дорівнює , а модуль інтеграла не більший за добуток максимума модуля підінтегральної функції на довжину шляху інтегрування, то . Інтеграл обчислюються при переході до параметричного запису рівняння кола :

Отже,

Оскільки ліва частина рівності не залежить від , то теорему доведено.

Наслідки

Оскільки це центральна формула всього комплексного аналізу, то вона має декілька важливих наслідків:

  • Поняття диференційовності та аналітичності еквівалентні;
  • Якщо функція має розвинення в ряд Тейлора або ряд Лорана в околі деякої точки , то коефіційєнти ряду визначаються формулою:
де r — довільне додатне дійсне число;
  • Якщо функція має похідні до n-ого порядку включно у точці , то вони визначаються за формулою
Формулу легко довести, якщо прирівняти вирази для коефіцієнтів ряду Тейлора в інтегральній та диференціальній формах;
  • Терема про середнє. Значення функції , що є голоморфною в області в кожній скінченній точці дорівнює середньому арифметичному її значень на будь-якому досить малому колі з центром в точці :
    Звідси, зокрема, випливає принцип максимуму модуля.
Більш загально, якщо функція в околі точки розкладається в ряд Тейлора: (де ) то
Ці формули випливають із параметризації колі з центром в точці і радіуса R: точки цього кола мають вигляд Тоді із означення комплексних лінійних інтегралів і вказаної параметризації і теореми про середнє одержуються із формули для коефіцієнтів ряду Тейлора вище.
  • Друга теорема про середнє. Значення функції , що є голоморфною в області в кожній скінченній точці дорівнює середньому арифметичному її значень на будь-якому досить малому крузі з центром в точці Точніше для круга з центром у радіуса r можна записати:
де подвійний інтеграл є стандартним інтегралом по крузі.
Для доведення подвійний інтеграл можна переписати через повторний у полярних координатах і використати попередню теорему про середнє:
де первісна для . Слід зауважити, що багатозначна функція може і не мати первісної, навіть якщо вона, функція, і регулярна в даній області.

Приклад

Для функції

обчислити значення інтегралу для контуру

Розв’язання

Функція має три особливі точки: .

У першому випадку до даного контуру потрапляють всі особливості. Отже, інтеграл можна розбити на три:

Числа можна обрати будь-якими малими, аби вони не включили інших особливих точок функції. Отже, застосувавши інтегральну формулу Коші до кожного з інтегралів маємо:

Джерела

  • Евграфов М.А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1965. — 471 ст.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.