Теорема Борсука — Уляма

Теорема Бо́рсука — У́ляма стверджує, що кожна неперервна функція із n-сфери в евклідів n-простір відображає деяку пару діаметрально протилежних точок в ту саму точку. Дві точки на сфері називаються діаметрально протилежними, якщо вони знаходяться в прямо протилежних напрямках від центру сфери. Теорема була вперше сформульована Станіславом Улямом, а в 1933 році вона була доведена Каролем Борсуком.

Теорема

Якщо задана неперервна функція , де  сфера в -мірному лінійному просторі, то існують такі дві діаметрально протилежні точки , що .

Приклади та інтерпретація

З теореми для випадку n = 2 зокрема випливає, що у будь-який момент часу на поверхні Землі завжди можна знайти дві діаметрально протилежні точки з однаковими температурою повітря і атмосферним тиском. При цьому припускається, що температура і атмосферний тиск є неперервними функціями точки земної поверхні. Для випадку ж, коли n = 1, з теореми випливає, що на земному екваторі завжди існує пара діаметрально протилежних точок із тією самою температурою повітря, що можна значно легше проілюструвати, використовуючи Теорему Больцано-Коші.

Наслідки

  • З теореми Борсука — Уляма випливає теорема Брауера про нерухому точку.
  • Жодна підмножина не є гомеоморфною до .
  • Теорема Люстерника — Шнірельмана: Якщо покривається n + 1 відкритою множиною, тоді одна з цих пар містить (x, x) — діаметрально протилежні точки. (дане твердження є еквівалентним до теореми Борсука — Уляма)
  • Для довільних компактних множин в існує гіперплощина, що ділить кожну з них на дві підмножини однакової міри.

Література

  • K. Borsuk Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre — Fund. Math., 20 (1933), с. 177–190.
  • Jiří Matoušek Using the Borsuk-Ulam theorem — Springer Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-00362-2.
  • L. Lyusternik and S. Shnirel'man Topological Methods in Variational Problems. — М.:Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U., 1930.
  • Su,, F.E. (Nov. 1997). - Borsuk-Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction. The American Mathematical Monthly 104 (9): 855859. Архів оригіналу за 13 жовтня 2008. Процитовано 1 квітня 2010.
  • Allen Hatcher Algebraic Topology

Відеоілюстрація

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.