Теорема Гаусса — Ванцеля

Теоре́ма Га́усса — Ва́нцеля стверджує, що правильний $n$ -кутник можна побудувати за допомогою циркуля й лінійки тоді і тільки тоді, коли $n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{m}$ , де $p_{i}\,\!$ — різні прості числа Ферма. Ця умова також еквівалентна тому, що значення функції Ейлера $\varphi (n)$ є степенем двійки.

Історія

Античним геометрам були відомі способи побудови правильних n-кутників для $n=2^{k},3\cdot 2^{k},3\cdot 5\cdot 2^{k}.$

1796 року німецький математик Карл Фрідріх Гаусс показав можливість побудови правильних n-кутників при $n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{m}$ , де $p_{i}\,\!$ — різні прості числа Ферма. 1836 року французький математик П’єр Ванцель довів, що інших правильних многокутників, які можна побудувати циркулем та лінійкою, не існує.

Конкретні реалізації побудови досить трудомісткі.

Побудова правильного 17-кутника була безпосередньо здійснена самим Гаусом, але вперше опублікована К. Ф. фон Пфейдерером 1802 року.
Правильний 257-кутник побудував Ф. Ю. Рішело 1832 року.
У бібліотеці Геттінгенського університету зберігається рукопис, який є підсумком 10-річної праці О. Гермеса, присвяченої методу побудови правильного 65537-кутника. З цього приводу англійський математик Джон Літлвуд пожартував:

Один нав’язливий аспірант дістав свого керівника, і той сказав йому:
— Ходіть-но і розробіть спосіб побудови правильного 65537-кутника!
Аспірант пішов і повернувся через двадцять років.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.