Числа Ферма

• Числа Ферма задовольняють таким рекурентним співвідношенням:

1. ${\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1\,}$
2. ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2}}$
3. ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2}}$
4. ${\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2}$

Перша й третя рівність перевіряються за допомогою елементарних операцій.
Четверту рівність можна довести методом математичної індукції:

твердження очевидно правильне для n=1 : F₁ = F₀ +2;

якщо припустити істинність для декого цілого n, тоді:

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}F_{k}=(\prod _{k=0}^{n-1}F_{k})F_{n}=(F_{n}-2)F_{n}=(2^{2^{n}}-1)(2^{2^{n}}+1)=2^{2^{n+1}}-1=F_{n+1}-2,}$

що завершує доведення 4-ї рівності.

Друга рівність може бути зведена до четвертої:

${\displaystyle F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2}=F_{n-1}+(F_{n-1}-1)F_{0}\cdots F_{n-2}=F_{n-1}+F_{0}\cdots F_{n-1}-F_{0}\cdots F_{n-2}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2=F_{n}}$

де двічі застосовано четверту рівність.

• Теорема Гольдбаха: будь-які два різні числа Ферма є взаємно-простими.

Це твердження випливає з останньої рекурсії. Справді, жодне з чисел Ферма не є парним, а якщо F_n і F_i, де n>i, взаємно-прості, тоді з попереднього маємо, що ${\displaystyle F_{n}=F_{i}\cdot A+2,A\in Z.}$ Отже, їх спільний дільник має ділити 2, що неможливо для непарних чисел.

• Жодне число Ферма не є сумою двох простих чисел, за винятком F₁ = 2 + 3.
• Правильний n-кутник можна побудувати за допомогою циркуля й лінійки тоді і лише тоді, коли ${\displaystyle n=2^{r}p_{1}p_{2}\dots p_{k}}$, де ${\displaystyle p_{i}}$ — різні прості числа Ферма (теорема Гаусса — Ванцеля).
• Серед чисел виду ${\displaystyle 2^{n}+1}$ простими можуть бути тільки числа Ферма. Справді, якщо у ${\displaystyle n}$ є непарний дільник ${\displaystyle m>1}$, то згідно з теоремою Безу:

${\displaystyle 2^{n}+1=(2^{m}+1)(1-2^{m}+2^{2m}-\cdots +2^{n-m}),}$

і тому ${\displaystyle 2^{n}+1}$ не є простим.

• Простота чисел Ферма ефективно визначається за допомогою тесту Папена: Число F_m просте тоді й тільки тоді, коли число ${\displaystyle (3^{\frac {F_{m}-1}{2}}+1)}$ ділиться на F_m[1].
• Теорема Лукаса: всі прості дільники числа Ферма F_n, де n>1, мають вигляд k×2ⁿ⁺²+1.

Французький математик П'єр Ферма, на честь якого названо ці числа, висунув гіпотезу, що всі вони прості. Проте Леонард Ейлер визначив, що F₅ = 4294967297 = 641 × 6700417. Зараз відомо лише 5 простих чисел Ферма: ${\displaystyle 3;5;17;257;65537}$, інших таких чисел після Ферма знайдено не було. Відомо, що ${\displaystyle F_{n}}$ не є простими для ${\displaystyle 5\leq n\leq 32}$. Залишаються відкритими питання про існування інших простих чисел Ферма і про скінченність чи нескінченність множини таких чисел[1].

• 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer, Springer, CMS Books 9, ISBN 0-387-95332-9

• Леонид Дурман (24 апреля). Часть 1. Гонки по вертикали. Числа Ферма от Эйлера до наших дней. Компьютерра (№16). Часть 2 Часть 3
• Michael A. Morrison & John Brillhart (1975). A method of factoring and the factorization of F₇. [Continued fraction method]. Math. Comp 29: 183–205.
• Richard P. Brent & John M. Pollard (1981). Factorization of the eighth Fermat number. [Pollard rho algorithm]. Math. Comp 36: 627–630.
• A. K. Lenstra, H. W. Lenstra, Jr., M. S. Manasse & J. M. Pollard (1993). The factorization of the ninth Fermat number. [Number field sieve]. Math. Comp 61: 319–349.
• Richard P. Brent (1999). Factorization of the tenth Fermat number. [Elliptic curve method]. Math. Comp 68: 429–451.
• Jeff Young & Duncan A. Buell (1988). The twentieth Fermat number is composite. Math. Comp 50: 261–263.
• Richard E. Crandall, Ernst W. Mayer & Jason S. Papadopoulos (2003). The twenty-fourth Fermat number is composite. Math. Comp 72: 1555–1572.

• Список об'єктів, названих на честь П'єра Ферма