Теорема Декарта (геометрія)

Геометричні задачі, що стосуються кола, обговорювалися протягом тисячоліть. У стародавній Греції в III столітті до нашої ери Аполлоній Перзький присвятив цілу книгу цій темі. На жаль, книга, яка носила назву Про дотикання, не збереглася, загинувши під час пожежі в Александрійській бібліотеці.

Рене Декарт обговорював задачу коротко в 1643 році в листі до принцесм Єлизавети Богемської. Він прийшов до того ж розв'язку, який наведено нижче в рівнянні (1), і тим самим вписав своє ім'я в теорему.

Фредерік Содді повторно відкрив рівняння в 1936 році. Дотичні кола в цій задачі іноді згадуються як кола Содді, можливо тому, що Содді вибрав опублікування своєї версії теореми у вигляді поеми, з назвою The Kiss Precise (Акуратний поцілунок), опублікованої в журналі Nature (20 червня 1936). Содді узагальнив теорему на сфери. Торольд Госсет узагальнив теорему на довільні виміри.

Дотичні кола. Якщо дано три взаємно дотичні кола (чорні), який радіус може мати четверте дотичне коло? В загальному випадку є дві можливі відповіді (червоні).

Теорему Декарта найпростіше сформулювати в термінах кривини кіл. Кривина кола визначається як k = ±1/r, де r — його радіус. Що більше коло, то менша величина його кривини, і навпаки.

Знак плюс в k = ±1/r ставиться, якщо коло має зовнішній дотик до іншого кола, як три чорних кола на малюнку. Для кіл, що дотикаються внутрішньо, як велике червоне коло на малюнку, яке описує інші кола, ставиться знак мінус.

Якщо вважати, що пряма лінія — це вироджене коло з нульовою кривиною (а отже, з нескінченним радіусом), теорема Декарта застосовується також і до прямої і двох кіл, що дотикаються попарно. В цьому випадку теорема дає радіус третього кола, що дотикається до двох інших і прямої.

Якщо чотири кола дотикаються одне з одним у шести різних точках та кола мають кривини k_i ( i = 1, ..., 4), теорема Декарта стверджує[2]:

${\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2}).}$ (1)

Якщо намагатися відшукати радіус четвертого кола, що дотикається до трьох дотичних одне з одним кіл, рівняння краще записати у вигляді:

${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}}}.}$ (2)

Знак ± відображає факт, що в загальному випадку є два розв'язки. Якщо виключити вироджений випадок прямої лінії, один розв'язок додатний, інший може бути як додатним, так і від'ємним. Якщо розв'язок від'ємний, він представляє коло, що описує перші три (як показано на малюнку).

Одне з кіл замінено прямою (з нульовою кривиною). Теорема Декарта залишається правильною.

Тут усі три кола дотикаються одне з одним в одній точці і теорема Декарта незастосовна.

Якщо одне з кіл замінити прямою лінією, то одне з чисел k_i, скажімо, k₃, буде нульовим і випадає з рівняння (1). Рівняння (2) стає значно простішим:

${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}.}$ (3)

Якщо два кола замінити прямими, дотик між двома колами замінюється паралельністю двох прямих. Два інші кола повинні бути рівні. У цьому випадку, з k₂ = k₃ = 0, рівняння (2) стає тривіальним

${\displaystyle \displaystyle k_{4}=k_{1}.}$

Неможливо замінити три кола прямими, оскільки одне коло і три прямі не можуть дотикатися одне з одним попарно. Теорема Декарта застосовується також для випадку, коли всі чотири кола дотикаються в одній точці.

Ще один спеціальний випадок — коли k_i є квадратами,

${\displaystyle (v^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2\,(v^{4}+x^{4}+y^{4}+z^{4})}$

Ейлер показав, що еквівалентне трійці піфагорових трійок,

${\displaystyle (2vx)^{2}+(2yz)^{2}=\,(v^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2})^{2}}$

${\displaystyle (2vy)^{2}+(2xz)^{2}=\,(v^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2})^{2}}$

${\displaystyle (2vz)^{2}+(2xy)^{2}=\,(v^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2})^{2}}$

і може бути задане параметричне подання. Якщо вибрати від'ємний знак кривини,

${\displaystyle (-v^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2\,(v^{4}+x^{4}+y^{4}+z^{4})}$

рівняння можна подати у вигляді добре відомого параметричного розв'язку[3],

${\displaystyle [v,x,y,z]=\,[2(ab-cd)(ab+cd),(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}),2(ac-bd)(a^{2}+c^{2}),2(ac-bd)(b^{2}+d^{2})]}$,

де

${\displaystyle a^{4}+b^{4}=\,c^{4}+d^{4}}$.

Для визначення кола повністю потрібно знати не тільки його радіус (або кривину), але треба ще знати і його центр. Відповідне рівняння найкраще написати, коли координати (x, y) подані у вигляді комплексного числа z = x + iy. Тоді рівняння виглядає подібно до рівняння в теоремі Декарта і тому називається комплексною теоремою Декарта.

Якщо подано чотири кола з кривинами k_i і центрами z_i (i = 1...4), на додачу до рівності (1) виконується така рівність:

${\displaystyle (k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+k_{3}z_{3}+k_{4}z_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}z_{1}^{2}+k_{2}^{2}z_{2}^{2}+k_{3}^{2}z_{3}^{2}+k_{4}^{2}z_{4}^{2}).}$ (4)

Після того, як k₄ буде знайдено за допомогою рівності (2), можна почати обчислення z₄ шляхом змінювання рівняння (4) до вигляду, схожого на (2):

${\displaystyle z_{4}={\frac {z_{1}k_{1}+z_{2}k_{2}+z_{3}k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}z_{1}z_{2}+k_{2}k_{3}z_{2}z_{3}+k_{1}k_{3}z_{1}z_{3}}}}{k_{4}}}.}$

Знову, в загальному випадку, є два розв'язки для z₄, відповідні двом розв'язкам для k₄.

Узагальнення для n-вимірного простору іноді згадується як теорема Содді-Госсе, хоча це зроблено вже в 1886 Лахланом (R. Lachlan). У n-вимірному евклідовому просторі максимальне число взаємно дотичних (n — 1)-вимірних сфер дорівнює n + 2. Наприклад, в 3-вимірному просторі можуть взаємно дотикатися п'ять сфер. Кривини гіперсфер задовольняють рівнянню

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}\right)^{2}=n\,\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}^{2}}$

і випадок k_i = 0 відповідає гіперплощині, так само, як у двовимірному випадку.

Хоча немає 3-вимірних аналогів комплексним числам, зв'язок між розташуванням центрів можна подати у вигляді матричних рівнянь[4].

• Круги Форда
• Сітка Аполлонія
• Шістка сфер Содді
• Дотична пряма до кола
• Ізопериметрична точка

• Interactive applet demonstrating four mutually tangent circles at cut the knot
• The Kiss Precise
• XScreenSaver: Скриншоти:: An XScreenSaver display hack visualizes Descartes' theorem, in hack "Apollonian".
• Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks: Beyond The Descartes Circle Theorem
• Шарыгин В. Ф., Шторгин М. І. Кто открыл формулу Содди? Математика в школе № 3. 1991. С. 31-33