Теорема Джекобсона про щільність

Нехай ${\displaystyle R}$ є кільцем з одиницею і ${\displaystyle M}$ — R-модуль. Такий модуль називається простим, коли у нього немає нетривіальних підмодулів, тобто єдиними його підмодулями є ${\displaystyle \{0\}}$ і ${\displaystyle M}$. Модуль називається точним, якщо ${\displaystyle rM=\{0\}}$ виконується лише для ${\displaystyle r=0}$.

Позначимо ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(M)}$ множину R-ендоморфізмів модуля ${\displaystyle M}$. На ${\displaystyle M}$ можна ввести множення кільця ${\displaystyle D=\mathrm {End} _{R}(M)}$ як

${\displaystyle \alpha \cdot m:=\alpha (m)}$   де   ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {End} _{R}(M),m\in M}$

і тоді ${\displaystyle M}$ буде ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(M)}$-модулем на якому можна розглядати ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(M)}$-лінійні відображення.

${\displaystyle R}$-лінійність ендоморфізмів ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {End} _{R}(M)}$ означає, що

${\displaystyle \alpha (rm)=r\alpha (m)}$   для всіх   ${\displaystyle r\in R,m\in M,\alpha \in \mathrm {End} _{R}(M)}$.

Позначивши ${\displaystyle \ell _{r}}$ відображення лівого множення елементів ${\displaystyle M}$ на елемент ${\displaystyle r\in R}$, з попереднього рівняння одержуємо, що кожна ${\displaystyle \ell _{r}}$ є ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(M)}$-лінійним відображенням. Загалом натомість ${\displaystyle \ell _{r}}$ не є ${\displaystyle R}$-лінійним якщо ${\displaystyle R}$ не є комутативним кільцем.

Зважаючи на простоту лівого ${\displaystyle R}$-модуля ${\displaystyle M}$ кільце ${\displaystyle D=\mathrm {End} _{R}(M)}$ згідно леми Шура є тілом. Для всіх ${\displaystyle m\in M}$ і ${\displaystyle \varphi \in \mathrm {End} _{D}(M)}$ позначимо

${\displaystyle B(m,\varphi ):=\{\psi \in \mathrm {End} _{D}(M)\mid \varphi (m)=\psi (m)\}}$.

Множини ${\displaystyle B(m,\varphi )}$ утворюють підбазу топології ${\displaystyle \mathrm {End} _{D}(M)}$, яка називається скінченною топологією.

Зважаючи на точність модуля оператор ${\displaystyle \ell _{r}\in \mathrm {End} _{D}(M)}$ можна ідентифікувати з елементом ${\displaystyle r\in R}$. Тоді можна записати ${\displaystyle R\subset \mathrm {End} _{D}(M)}$ і як наслідок теореми Джекобсона підмножина ${\displaystyle R\subset \mathrm {End} _{D}(M)}$ буде щільною у скінченній топології.[3], що пояснює назву теорема про щільність.

Справді деяка підмножина у топологічному просторі є щільною тоді і тільки тоді коли перетин цієї множини і непустого перетину скінченної кількості множин із підбази теж є непустою підмножиною. Але ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}B(m_{i},\varphi _{i})}$ є підмножиною відображень ${\displaystyle \psi \in \mathrm {End} _{D}(M)}$ для яких ${\displaystyle \varphi _{i}(m_{i})=\psi (m_{i})}$ для всіх ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$. З теореми Джекобсона випливає існування ${\displaystyle r\in R}$ для якого виконуються ці рівності і тоді ${\displaystyle r\in \bigcap _{i=1}^{n}B(m_{i},\varphi _{i}).}$

Якщо ${\displaystyle M}$ є скінченновимірним векторним простором над ${\displaystyle D}$ і ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{n}\in M}$ є його базисом, тоді ${\displaystyle \mathrm {End} _{D}(M)\cong M_{n}(D)}$ і в базисі ${\displaystyle m_{i}}$ згідно теореми Джекобсона ${\displaystyle R\cong M_{n}(D)}$.

Кільце ${\displaystyle R}$ з одиницею називається примітивним, якщо для нього існує точний, простий модуль.[4] Згідно теореми Джекобсона про щільність, для примітивного кільця ${\displaystyle R}$ існує тіло ${\displaystyle D}$ і ${\displaystyle D}$-модуль ${\displaystyle M}$ такий, що ${\displaystyle R}$ є щільною підмножиною у ${\displaystyle \mathrm {End} _{D}(M)}$. За такий модуль можна взяти точний простий модуль ${\displaystyle M}$, який існує за означенням і тоді теж взяти ${\displaystyle D=\mathrm {End} _{R}(M)}$.

Ця властивість характеризує примітивні кільця, адже якщо ${\displaystyle R\subset \mathrm {End} _{D}(M)}$ є щільним підкільцем для модуля ${\displaystyle M}$ над тілом ${\displaystyle D}$, то ${\displaystyle M}$ є точним простим ${\displaystyle R}$-модулем. Справді нульовий ендоморфізм є єдиним елементом ${\displaystyle \mathrm {End} _{D}(M)}$ який переводить модуль ${\displaystyle M}$ в нуль і оскільки ${\displaystyle R}$ є підмножиною ${\displaystyle \mathrm {End} _{D}(M)}$ то у цьому кільці може бути лише один елемент (а саме нульовий елемент) множення на який обнуляє модуль. Також оскільки ${\displaystyle R}$ є щільним підкільцем і для будь-яких ${\displaystyle m,n\in M}$ існує такий${\displaystyle \varphi \in \mathrm {End} _{D}(M)}$, що ${\displaystyle \varphi (m)=n}$ то існує такий ${\displaystyle r\in R}$, що ${\displaystyle rm=n}$. Тобто завжди ${\displaystyle Rm=M}$ і єдиними підмодулями модуля ${\displaystyle M}$ є ${\displaystyle \{0\}}$ і ${\displaystyle M}$, тобто він є простим ${\displaystyle R}$-модулем.

Ця характеристика примітивних кілець є фактично альтернативною формою твердження теореми Джекобсона.[5].

Прикладом застосування теореми Джекобсона є теорема Бернсайда.

• Нехай ${\displaystyle G}$ — група і ${\displaystyle \rho :G\rightarrow \mathrm {GL} (\mathbb {C} ^{n})}$ незвідне n-вимірне представлення цієї групи у векторному просторі над полем комплексних чисел (або довільним іншим алгебрично замкнутим полем). Тоді існують такі елементи ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n^{2}}\in G}$, що ${\displaystyle \rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{n^{2}})}$ є ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -лінійно незалежними. Інакше кажучи лінійною оболонкою образів представлення є простір всіх ендоморфізмів векторного простору.

Введемо групову алгебру ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ (тобто множину ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -лінійних комбінацій з елементами групи ${\displaystyle G}$ з очевидними означеннями суми і добутку) і продовжимо відображення ${\displaystyle \rho }$ до гомоморфізму ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -алгебр ${\displaystyle {\tilde {\rho }}:\mathbb {C} [G]\rightarrow \mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})}$. Позначимо ${\displaystyle R={\tilde {\rho }}(\mathbb {C} [G])\subset \mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})}$. Тоді згідно означень ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ є точним і простим ${\displaystyle R}$-модулем. Тоді ${\displaystyle D=\mathrm {End} _{R}(M)}$ є множиною лінійних операторів, що комутують з усіма елементами ${\displaystyle R}$, а отже із усіма елементами ${\displaystyle \rho (G)}$. Оскільки згідно умови представлення є незвідним, то згідно леми Шура ${\displaystyle D}$ є множиною скалярних відображень і може бути ідентифікованим з ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Згідно теореми Джекобсона таким чином ${\displaystyle R=\mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})}$, тобто ${\displaystyle R}$ є алгеброю всіх ендоморфізмів лінійного простору. Оскільки ${\displaystyle R}$ є лінійною оболонкою образів представлення групи, то серед цих образів можна вибрати базис простору ${\displaystyle \mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})}$.[6]

• Лема Шура

• Farb, Benson; Dennis, R. Keith (1993). Noncommutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics 144. Springer-Verlag. ISBN 978-0387940571. MR 1233388.
• I.N. Herstein (1968). Noncommutative rings (вид. 1st). The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-015-X.
• I. Martin Isaacs (1993). Algebra, a graduate course (вид. 1st). Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2.
• Jacobson, N. (1945). Structure theory of simple rings without finiteness assumptions. Trans. Amer. Math. Soc. 57: 228–245. ISSN 0002-9947. MR 0011680. doi:10.1090/s0002-9947-1945-0011680-8.
• Robinson, Derek J. S. (1996). A Course in the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics 80 (вид. 2nd). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94461-3. Zbl 0836.20001.
• Rowen, Louis H. (1988). Ring theory. Vol. I. Pure and Applied Mathematics 127. Boston, MA: Academic Press Inc. с. xxiv+538. ISBN 0-12-599841-4. MR 940245.