Представлення групи

Представлення (зображення) групи, — гомоморфізм заданої групи в групу невироджених лінійних перетворень векторного простору. Образ цього гомоморфізму є групою, елементами якої є відповідні лінійні перетворення або їх матриці. Тобто, представленням групи ${\displaystyle G}$, є гомоморфізм груп

${\displaystyle h:G\to \operatorname {Aut} (W)}$,

де ${\displaystyle \operatorname {Aut} (W)}$ позначає групу автоморфізмів векторного простору ${\displaystyle W}$. Відповідно ${\displaystyle \forall u,v\in G}$ маємо:

${\displaystyle h(u*v)=h(u)\cdot h(v)}$

де ${\displaystyle u*v}$ — добуток елементів групи, а ${\displaystyle h(u)\cdot h(v)}$ — добуток лінійних перетворень, що є образами цих елементів при відображенні h.

Нехай V і W — векторні простори над деяким тілом K. Два представлення

${\displaystyle \rho _{1}\colon G\to GL(V)\,\!}$

і

${\displaystyle \rho _{2}\colon G\rightarrow GL(W)\,\!}$

називають ізоморфними, якщо існує ізоморфізм векторних просторів:

${\displaystyle \alpha \colon V\to W\,\!}$

що ${\displaystyle \forall g\in G}$ виконується рівність:

${\displaystyle \alpha \circ \rho _{1}(g)\circ \alpha ^{-1}=\rho _{2}(g).\,\!}$

• Представлення групи в просторі, для якого існує інваріантний підпростір щодо відповідних лінійних перетворень, називається звідним; інакше - незвідним або простим.
• Якщо ${\displaystyle G}$ — топологічна група, то під представленням ${\displaystyle G}$ звичайно розуміється неперервне лінійне представлення групи ${\displaystyle G}$ у топологічному векторному просторі.

Для різних видів груп представлення мають різні властивості і для їх дослідження використовуються різні математичні методи. Тому теорія представлення груп ділиться на кілька окремих розділів. Серед найважливіших зокрема є:

• Теорія представлення скінченних груп. Є дуже важливою у вивченні загальних властивостей скінченних груп, також має важливі застосування у геометрії і кристалографії.
• Теорія представлення компактних і локально компактних груп. Застосовує багато методів, що використовуються і для скінченних груп. Є важливою частиною гармонічного аналізу.
• Теорія представлення груп Лі. Багато важливих приладів груп Лі є компактними, тож для їх дослідження використовуються методи теорії представлення компактних груп. Існують також і специфічні методи для груп Лі. Групи Лі і їх представлення широко використовуються у фізиці і хімії.
• Теорія представлення лінійних алгебраїчних груп є значно менш розвинута, ніж попередні, хоча лінійні алгебраїчні групи мають багато властивостей схожих з властивостями груп Лі.

У ширшому сенсі, під представленням групи може розумітися гомоморфізм групи в групу всіх невироджених перетворень деякої множини ${\displaystyle X}$. Наприклад:

• Проективне представлення групи - гомоморфізм групи в групу проективних перетворень проективного простору.

Фізичний аспект теорії зображень груп полягає у врахуванні й використанні уявлень про симетрію, пов'язаних із різними фізичними процесами. Такі уявлення симетрії виникають у фізиці двоїстим чином. По-перше, оскільки будь-який фізичний процес перебігає у просторі (та у часі), при описі таких процесів доводиться використовувати ту чи іншу систему координат. Однак вибір цієї системи виділяє у просторі деякі напрямки (які відповідають осям координат), що суперечить «ізотропності» простору, тобто рівноправності усіх його напрямків; тому фізичний зміст може мати лише таке співвідношення, яке не змінюється при повороті осей системи координат. Ця обставина (яка доповнюється врахуванням «однорідності» простору, яка полягає у рівноправності усіх його точок, а також врахуванням рівноправності будь-яких двох моментів часу) вельми сильно обмежує можливі «фізичні закони».

Ще більш жорсткі вимоги симетрії накладає на фізичні явища теорія відносності, яка стверджує, що будь-який фізичний закон повинен виражатися формулами, які не змінюються за усіх так званих «перетворень Лоренца» чотиривимірного простору-часу.

По-друге, самі досліджувані фізичні об'єкти (атоми, молекули, кристали) часто мають деяку «симетрію», яка також повинна враховуватися.

Наприклад, єдиним виразом, який пов'язує координати ${\displaystyle a_{x},a_{y},a_{z}}$ довільного вектора ${\displaystyle a}$ й не змінює свого значення за будь-якого повороту осей системи координат, є сума ${\displaystyle D}$ квадратів координат вектора

${\displaystyle D=a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2},}$

яка дорівнює квадрату довжини вектора ${\displaystyle a}$ (та будь-яка функція виразу ${\displaystyle D}$). Але добре відомо, що закон перетворення частинних похідних ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}}$ деякої функції ${\displaystyle f(x,y,z)}$ при повороті осей системи координат співпадає із законом перетворення координат вектора, причому другі похідні ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$ перетворюються як квадрати координат. Ця обставина визначає роль у фізиці оператора Лапласа:

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$

Найпростіші фізичні закони, які задовольняють умовам симетрії, які накладаються ізотропністю та однорідністю простору, можуть записуватися одним з трьох диференціальних рівнянь:

${\displaystyle \Delta u=f}$ (рівняння Пуасона, за ${\displaystyle f\equiv 0}$ перетворюється на рівняння Лапласа)

${\displaystyle \Delta u=a{\frac {\partial u}{\partial t}}}$ (рівняння теплопровідності)

${\displaystyle \Delta u=a{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}}$ (хвильове рівняння)

де ${\displaystyle u=u(x,y,z,t)}$ — функція, яка має інваріантний фізичний зміст, ${\displaystyle f(x,y,z,t)}$ та ${\displaystyle a=a(x,y,z,t)}$ — відомі функції.[1]

• Ізометрія (математика)
• Лема Шура
• Характер представлення групи

1. Юрій Дрозд Вступ до теорії зображень
2. Пилипів В.М. Теорія представлень груп та її застосування(навчальний посібник). -Івано-Франківськ: ВДВ ЦІТ Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника, 2008.-156с.
3. Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6, ISBN 978-0-387-97495-8 .
4. James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X.
5. Serre, Jean-Pierre (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6.

1. Hermann Weyl - Symmetry.