Теорема Рунге

Позначимо ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}.}$ Нехай ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} }$  — компактна підмножина і ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна функція в визначена на відкритій множині, що містить ${\displaystyle K.}$ Якщо ${\displaystyle A}$  — множина, що містить по одній точці з кожної компоненти зв'язності множини ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K,}$ для кожного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує раціональна функція, що має полюсами в множині ${\displaystyle A}$ і для якої ${\displaystyle \sup _{z\in K}|f(z)-r(z)|<\varepsilon }$.

Звідси зокрема випливає, що при тих же умовах і позначеннях, що і вище для функції ${\displaystyle f(z)}$ існує послідовність функцій ${\displaystyle f_{i}(z),}$ що рівномірно на ${\displaystyle K}$ збігаються до ${\displaystyle f(z).}$

Якщо ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ — відкрита множина то також довільна голоморфна на ${\displaystyle U}$ функція ${\displaystyle f(z)}$ може бути рівномірно на компактних підмножинах наближеною раціональними функціями.

• Якщо ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} }$ і множина ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K,}$ є зв'язною то взявши ${\displaystyle A=\infty }$ з теореми Рунге можна отримати наступний результат, який теж часто називається теоремою Рунге:

Якщо при вказаних умовах функція ${\displaystyle f(z)}$ є голоморфною на відкритій множині, що містить ${\displaystyle K}$ тоді для кожного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує многочлен ${\displaystyle p(z)}$, для якого ${\displaystyle \sup _{z\in K}|f(z)-p(z)|<\varepsilon }$.

• Дане твердження може бути перефразованим для відкритих зв'язних множин ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ таких, що ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}\setminus U}$ є зв'язною множиною. В цьому випадку ${\displaystyle f(z)}$ рівномірно наближається поліномами на всіх компактних підмножинах в ${\displaystyle U.}$ Множина ${\displaystyle U}$ є зв'язною разом із своїм доповненням ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}\setminus U}$ тоді і тільки тоді, коли множина ${\displaystyle U}$ є однозв'язною. Натомість якщо взяти ${\displaystyle U=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$ то функцію ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$ не можна апроксимувати на компактах многочленами.

Тому можна перефразувати попередні результати як: для зв'язної множин ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ довільну голоморфну на ${\displaystyle U}$ функцію ${\displaystyle f(z)}$ можна наблизити многочленами рівномірно на компактах тоді і тільки тоді коли множина ${\displaystyle U}$ є однозв'язною.

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001). Runge theorem. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.

• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable (вид. 2nd). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2905-X.