Теорема Фубіні

У теорії міри Теоремою Фубіні, Теоремою Тонеллі, Теоремою Тонеллі — Фубіні називається ряд пов'язаних тверджень, що зводять обчислення подвійного інтеграла на добутку мір до обчислення повторних інтегралів. Також термін теорема Фубіні використовуються для різних теорем математичного аналізу про рівність подвійних і повторних інтегралів, які по-суті є частковими випадками загальних тверджень.

Теореми названі на честь італійських математиків Гвідо Фубіні і Леоніда Тонеллі.

Формулювання

Теорема Фубіні

Нехай $(X,\;{\mathcal {F}}_{1},\;\mu _{1}),\;(Y,\;{\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{2})$ — два простори з сигма-скінченною мірою, а $(X\times Y,\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \mu _{2})$ — їх добуток мір. Нехай функція $f\colon X\times Y\to \mathbb {R}$ інтегровна щодо міри $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ , тобто вимірна і також $\int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)<\infty ,$ . Тоді

функція $x\to \int \limits _{Y}f(x,\;y)\,{\text{d}}y$ визначена майже скрізь і інтегровна щодо $\mu _{1}$ ;
функція $y\to \int \limits _{X}f(x,\;y)\,{\text{d}}x$ визначена майже скрізь і інтегровна щодо $\mu _{2}$ ;
і також виконуються рівності

\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).

Теорема Тонеллі

Нехай у тих же припущеннях щодо просторів з мірою, що і вище функція $f:X\times Y\rightarrow [0,+\infty ]$ є вимірною і невід'ємною. Тоді

функція $x\to \int \limits _{X_{2}}f(x,\;y)\,{\text{d}}y$ визначена і інтегровна щодо $\mu _{1}$ ;
функція $x\to \int \limits _{X_{1}}f(x,\;y)\,{\text{d}}x$ визначена і інтегровна щодо $\mu _{2}$ ;
і також виконуються рівності

\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).

Теорема Тонеллі — Фубіні

Об'єднуючи результати двох попередніх теорем можна також отримати ще один пов'язаний результат.

Нехай у тих же припущеннях щодо просторів з мірою, що і вище функція $f:X\times Y\to \mathbb {R}$ є вимірною і якийсь з інтегралів

\int _{X}\left(\int _{Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x

\int _{Y}\left(\int _{X}|f(x,y)|\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y

\int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)

є скінченним. Тоді

\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).

Формулювання в теорії ймовірностей

В термінах теорії ймовірностей твердження теореми Фубіні можна подати так. Нехай $(\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mathbb {P} _{i}),\;i=1,\;2$ — ймовірнісні простори, і $X\colon \Omega _{1}\times \Omega _{2}\to \mathbb {R}$ — випадкова величина на $(\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2})$ . Тоді

\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2}}[X]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}[X]\right]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}[X]\right],

де індекс позначає ймовірнісну міру, щодо якої береться математичне очікування.

Доведення теореми Фубіні

Нижче наведено доведення рівності $\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y)$ та існування першого інтегралу. Рівність для іншого повторного інтеграла і відповідно рівність між самими повторними інтегралами доводиться аналогічно.

Розглянемо спочатку випадок невід'ємної вимірної функції f визначеної на $(X\times Y,\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \mu _{2})$ . Для множини $E\subset X\times Y$ проста функція $\mathbf {1} _{E}$ задовольняє рівність:

$(\mathbf {1} _{E})_{x}=\mathbf {1} _{E_{x}},\;\forall x\in X,$

де $E_{x}=\{y\in Y\mid (x,\;y)\in E)\}$ — перетин $E$ вздовж $x\in Y$ , а для довільної функції g визначеної на $X\times Y$ позначення $(g)_{x},x\in X$ позначає функцію-переріз визначену на Y, як $(g)_{x}(y)=g(x,y),\;\forall y\in Y.$

З означень інтегралів, характеристичних функцій, добутків мір, а також попередньої рівності отримуємо:

$\int _{X\times Y}\mathbf {1} _{E}\,{\text{d}}(x,y)=\mu _{1}\otimes \mu _{2}(E)=\int \limits _{X}\mu _{2}(E_{x})\,{\text{d}}x=\int _{X}\left(\int _{Y}\mathbf {1} _{E_{x}}\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x.$

Це разом із лінійністю інтегралів доводить твердження для простих невід'ємних вимірних функцій.

Для довільної невід'ємної вимірної функції f існує послідовність $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ неспадних простих вимірних функцій, що поточково збігаються до f. Для довільного $x\in X$

послідовність $(f_{x})_{n}$ є неспадною послідовністю простих вимірних функцій, що поточково сходяться до функції $f_{x}.$ Згідно теореми Леві про монотонну збіжність:

$\lim _{n\to \infty }\int _{X\times Y}f_{n}(x,y)\,{\text{d}}(x,y)=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y)<\infty ,$

Також зважаючи, що функції $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ — прості, то з попереднього

$\int _{X\times Y}f_{n}(x,y)\,{\text{d}}(x,y)=\int _{X}\left(\int _{Y}(f_{x})_{n}(y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x.$

Послідовність функцій $x\to \int _{Y}(f_{x})_{n}(y)\,{\text{d}}y$ є неспадною послідовністю невід'ємних ${\mathcal {F}}_{1}$ - вимірних функцій і згідно теореми Леві про монотонну збіжність їх поточкова границя рівна $\int _{Y}f_{x}(y)\,{\text{d}}y$ і теж є ${\mathcal {F}}_{1}$ - вимірною функцією. Зважаючи на ці властивості за допомогою повторного застосування теореми Леві про монотонну збіжність отримуємо рівність:

$\lim _{n\to \infty }\int _{X}\left(\int _{Y}(f_{x})_{n}(y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{X}\left(\int _{Y}f_{x}(y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x,$

яка завершує доведення для випадку невід'ємної вимірної функції f. Внутрішній інтеграл є скінченним майже скрізь оскільки в іншому випадку загальний вираз не міг би бути скінченним.

Для довільної вимірної функції f, що задовольняє умови теореми її можна записати як $f=f_{+}-f_{-},$ де $f_{+},f_{-}$ — невід'ємні вимірні функції для яких також $\int _{X\times Y}f_{+}\,{\text{d}}(x,y)<\infty$ і $\int _{X\times Y}f_{-}\,{\text{d}}(x,y)<\infty .$

Справедливість теореми Фубіні для загального випадку є таким чином наслідком теореми для випадку невід'ємних функцій і лінійності інтегралів.

Математичний аналіз

Теормін теорема Фубіні часто використовується в математичному аналізі для тверджень про рівність між двовимірними і повторними інтегралами, хоча ці результати були відомі задовго до Фубіні і Тонеллі.

У найпростішому випадку твердження можна подати так. Нехай $f\colon D=[a,\;b]\times [c,\;d]\to \mathbb {R}$ — функція двох дійсних змінних, інтегровна за Ріманом на прямокутнику $[a,\;b]\times [c,\;d]$ , тобто $f\in \mathbb {R} (D)$ . Тоді

\iint \limits _{D}f(x,\;y)\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left[\int \limits _{c}^{d}f(x,\;y)\,dy\right]\,dx=\int \limits _{c}^{d}\left[\int \limits _{a}^{b}f(x,\;y)\,dx\right]\,dy,

де інтеграл у лівій стороні двовимірний, а інші повторні одновимірні.

Доведення

Будь-яке розбиття $\lambda$ множини $[a,\;b]\times [c,\;d]$ отримується деякими розбиттями $\lambda _{x}$ відрізка $X=[a,\;b]$ і $\lambda _{y}$ відрізка $[c,\;d]$ , при цьому площа кожного прямокутника $X_{i}\times Y_{j}$ визначається як $V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)=\left|X_{i}\right|\cdot \left|Y_{j}\right|$ , де $X_{i},Y_{j}$ ? деякі відрізки розбиттів.

Тоді можна дати оцінку для інтеграла

\int \limits _{X}dx\left[\int \limits _{Y}f\left(x,y\right)\,dy\right]\quad (*)

і нижніх і верхніх інтегральних сум функції ${\mathcal {L}}\left(f,\lambda \right)$ и ${\mathcal {U}}\left(f,\lambda \right)$ :
${\mathcal {L}}\left(f,\lambda \right)=\sum \limits _{i,j}\inf \limits _{x\in X_{i},y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\leq \sum \limits _{i}\inf \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\inf \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|$
$\sum \limits _{i}\inf \left(\int \limits _{Y}f\left(x,y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|\leq \int \limits _{X}\,dx\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\leq \sum \limits _{i}\sup \left(\int \limits _{Y}f\left(x,y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|$
${\mathcal {U}}\left(f,\lambda \right)=\sum \limits _{i,j}\sup \limits _{x\in X_{i},y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\geq \sum \limits _{i}\sup \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\sup \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|$
При інтегровності $f$ на $X\times Y$ , тобто рівності $\sup \limits _{\lambda }\,{\mathcal {L}}\left(f,\lambda \right)=\inf \limits _{\lambda }\,{\mathcal {U}}\left(f,\lambda \right)$ інтеграл $(*)$ також існує і має таке ж значення, як і $\iint \limits _{X\times Y}f(x,\;y)\,dx\,dy.$

Приклади необхідності умов теореми

Функції з нескінченним інтегралом

Розглянемо функцію

\int _{[0,1]^{2}}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}~\mathrm {d} (x,y).

Для неї не виконується вимога скінченності інтегралу:

\int _{[0,1]^{2}}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right|\mathrm {d} (x,y)=+\infty .

Твердження теореми Фубіні для цієї функції не буде справедливим оскільки:

\int _{0}^{1}\left[\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}~\mathrm {d} y\right]\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4}}

але

\int _{0}^{1}\left[\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}~\mathrm {d} x\right]\mathrm {d} y=-{\frac {\pi }{4}}.

Добуток не сигма-скінченних мір

Розглянемо добуток двох множин $I=[0,1]$ .На першій задамо звичайну міру Лебега $\lambda ,$ а на іншій — лічильну міру $m$ на алгебрі всіх підмножин інтервалу. Лічильна міра не є сигма-скінченною.

Якщо позначити $\scriptstyle \Delta =\{(x,x)\mid x\in [0,1]\}\subset I^{2}$ — діагональ, то характеристична функція 1_Δ є вимірною.

Для повторних інтегралів маємо : $\int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\Delta }(x,y)~\mathrm {d} y\right]~\mathrm {d} x=\int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\{x\}}(y)~\mathrm {d} y\right]~\mathrm {d} x=\int _{I}m(\{x\})~\mathrm {d} x=\lambda (I)=1$ і : $\int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\Delta }(x,y)~\mathrm {d} x\right]~\mathrm {d} y=\int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\{y\}}(x)~\mathrm {d} x\right]~\mathrm {d} y=\int _{I}\lambda (\{y\})~\mathrm {d} y=\int _{I}0~\mathrm {d} y=0.$

Дані інтеграли відрізняються оскільки один з вимірних просторів не є сигма-скінченним.

Див. також

Добуток мір

Література

Дороговцев, А. Я. (1989). Элементы общей теории меры и интеграл. К.: Вища школа. с. 152. ISBN 5-11-001190-7.
Cohn, Donald L. (1997) [1980]. Measure theory (вид. reprint). Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag. с. IX+373. ISBN 3-7643-3003-1.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.