Теорема про вирізання

Якщо ${\displaystyle U\subseteq A\subseteq X}$ то кажуть, що ${\displaystyle U}$ можна вирізати, якщо відображення включення пари ${\displaystyle (X\setminus U,A\setminus U)}$ у пару ${\displaystyle (X,A)}$ породжує ізоморфізм відносних гомологій:

${\displaystyle H_{n}(X\setminus U,A\setminus U)\cong H_{n}(X,A)}$

Теорема стверджує, що якщо замикання ${\displaystyle U}$ міститься у внутрішності ${\displaystyle A,}$ то ${\displaystyle U}$ можна вирізати.

Спершу доведемо, що кожен елемент ${\displaystyle H_{*}(X,A)}$ є лінійною комбінацією сингулярних симплексів образи яких належать внутрішності ${\displaystyle A}$ або ${\displaystyle X\setminus U.}$

Для цього для довільного топологічного простору ${\displaystyle X}$ можна ввести для кожного n гомоморфізм ${\displaystyle \psi :S_{n}(X)\to S_{n}(X),}$ що для сингулярного симплекса ${\displaystyle \lambda }$ задається як:

${\displaystyle \psi (\lambda )=\lambda \circ \varphi ,}$

де ${\displaystyle \varphi }$ позначає гомоморфізм, що переводить стандартний n-симплекс (який можна розглядати як елемент симпліціального ланцюгового комплексу) у суму n-симплексів одержаних барицентричним розбиттям стандартного симплекса із врахуванням їх орієнтації.

Гомоморфізм ${\displaystyle \psi }$ є ланцюговим відображенням. Справді:

${\displaystyle \partial \psi (\lambda )=\lambda \varphi \partial =\sum (-1)^{r}\lambda \varphi F^{r}=\sum (-1)^{r}(\lambda F^{r})\varphi =\psi \partial (\lambda ).}$

У цих рівностях ${\displaystyle F^{r}}$ позначає вкладення r-ї грані у стандартний симплекс.

Також ${\displaystyle \psi }$ є ланцюгово гомотопним до тотожного відображення. Цей факт достатньо довести для довільного сингулярного симплекса ${\displaystyle \lambda .}$ Нехай ${\displaystyle \lambda (\Delta _{n})\to X}$ є сингулярним n-симплексом, де ${\displaystyle \Delta _{n}}$ позначає стандартний симплекс. Потрібно знайти гомоморфізм ${\displaystyle T:S_{n}(X)\to S_{n+1}(X)}$ заданий для всіх n, для якого ${\displaystyle \partial T+T\partial =\psi -1.}$ Для задання такого гомоморфізму зручно розглянути ланцюговий комплекс ${\displaystyle C_{*}(\Delta _{n})}$ елементами якого є афінні відображення із стандартних симплексів ${\displaystyle \Delta _{k}}$ у стандартний симплекс ${\displaystyle \Delta _{n}}$ з очевидним граничним відображенням. Тоді відображення ${\displaystyle \lambda }$ породжує ланцюгове відображення ${\displaystyle \lambda _{*}:C_{*}(\Delta _{n})\to S_{*}(X).}$ Тому, якщо на ${\displaystyle C_{*}(\Delta _{n})}$ можна задати ланцюгову гомотопію ${\displaystyle T'}$ між гомоморфізмом поділу ${\displaystyle \varphi }$ і тотожним гомоморфізмом (тобто ${\displaystyle \partial T'+T'\partial =\varphi -1}$ на множині афінних сингулярних симплексів), тоді для тотожного відображення ${\displaystyle 1_{\Delta _{n}}}$ можна ввести ${\displaystyle T(\lambda )=\lambda _{*}(T'(1_{\Delta _{n}})).}$ Застосувавши відображення ${\displaystyle \lambda _{*}}$ до рівності ${\displaystyle \partial T'+T'\partial =\varphi -1}$ звідси одержується необхідна рівність ${\displaystyle \partial T(\lambda )+T\partial \lambda =\psi (\lambda )-\lambda .}$

Для задання відображення ${\displaystyle T'}$ спершу можна зауважити, що всі афінні сингулярні симплекси на ${\displaystyle \Delta _{n}}$ однозначно визначаються образами вершин відповідних стандартних симплексів. Якщо ${\displaystyle \mu$ :\Delta _{k}\to \Delta _{n}} є афінним сингулярним симплексом у ${\displaystyle \Delta _{n}}$ і a є довільною точкою ${\displaystyle \Delta _{n}}$ позначимо ${\displaystyle a\mu$ :\Delta _{k+1}\to \Delta _{n}} афінний сингулярний симплекс при якому образом першої вершини ${\displaystyle \Delta _{k+1}}$ є a, а образами наступних вершин є відповідні образи вершин ${\displaystyle \Delta _{k}}$ при відображенні ${\displaystyle \mu .}$ Цю конструкцію можна продовжити і на формальні суми афінних сингулярних симплексів. Нехай також b позначає барицентр симплекса ${\displaystyle \Delta _{n}.}$

З цими позначеннями ${\displaystyle T'}$ задається індуктивно по ${\displaystyle m}$ у ${\displaystyle C_{m}(\Delta _{n}).}$ Для ${\displaystyle m=0}$ за означенням ${\displaystyle T':C_{0}(\Delta _{n})\to C_{0}(\Delta _{n})}$ є нульовим гомоморфізмом. Якщо ${\displaystyle T'}$ є задано на всіх ${\displaystyle C_{k}(\Delta _{n})}$ для k < m і ${\displaystyle \mu \in C_{m}(\Delta _{n}),}$ то за означенням:

${\displaystyle T'(\mu )=b(\varphi (\mu )-\mu -T'\partial (\mu )).}$

Тоді

${\displaystyle \partial T'(\mu )=(\varphi (\mu )-\mu -T'\partial (\mu ))-b\partial (\varphi (\mu )-\mu -T'\partial (\mu )).}$

Але (із врахуванням індукції):

${\displaystyle \partial (\varphi (\mu )-\mu -T'\partial (\mu ))=\left[\partial \varphi -\partial -(\varphi -1-T'\partial )\partial \right]\mu =0}$

оскільки ${\displaystyle \varphi \partial =\partial \varphi }$ і ${\displaystyle \partial \partial =0.}$ Тому остаточно:

${\displaystyle \partial T'(\mu )=\varphi (\mu )-\mu -T'\partial (\mu ),}$

тобто ${\displaystyle T'}$ і як наслідок ${\displaystyle T}$ є ланцюговими гомотопіями.

Далі ${\displaystyle \psi }$ можна продовжити до ланцюгового відображення ${\displaystyle \psi :S_{n}(X,A)\to S_{n}(X,A),}$ що є ланцюгово гомотопною до тотожного відображення. Також відображення ${\displaystyle \psi }$ можна застосовувати повторно.

Оскільки за умовами теореми внутрішності ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle X\setminus U}$ утворюють відкрите покриття простору ${\displaystyle X,}$ то для довільного сингулярного симплекса ${\displaystyle \lambda }$ прообрази цих множин при відображенні ${\displaystyle \lambda }$ утворюють відкрите покриття стандартного симплекса. Оскільки при барицентричному розбитті діаметр одержаних симплексів строго зменшується, то згідно леми Лебега для деякого r при застосуванні процесу барицентричного розбиття r разів усі одержані симплекси належать якомусь із двох елементів відкритого покриття стандартного симплекса. Тоді ${\displaystyle \psi ^{r}(\lambda )}$ є лінійною комбінацією сингулярних n-симплексів образ кожного із яких належать внутрішності ${\displaystyle A}$ або ${\displaystyle X\setminus U.}$ Також очевидно для скінченної кількості сингулярних симплексів ${\displaystyle \lambda }$ можна підібрати r єдине для всіх симплексів.

Нехай тепер ${\displaystyle x\in H_{n}(X,A)}$ і ${\displaystyle z\in Z_{n}(X,A)}$ є представником цього елемента. Оскільки ${\displaystyle \psi }$ є ланцюгово гомотопним до тотожного відображення, то для кожного r елементи ${\displaystyle z}$ і ${\displaystyle \psi ^{r}(z)}$ відрізняються на граничний елемент і всі ${\displaystyle \psi ^{r}(z)}$ теж є представниками ${\displaystyle x.}$ Із попереднього, для достатньо великого r елемент ${\displaystyle \psi ^{r}(z)}$ є лінійною комбінацією сингулярних симплексів образи яких належать або ${\displaystyle A}$ або ${\displaystyle X\setminus U}$ (навіть їх внутрішностям). Але тоді ${\displaystyle \psi ^{r}(z)\in Z_{n}(X\setminus U,A\setminus U).}$ Це доводить, що ${\displaystyle i_{*}:H_{n}(X\setminus U,A\setminus U)\to H_{n}(X,A)}$ є сюр'єкцією.

З іншого боку нехай ${\displaystyle z\in Z_{n}(X\setminus U,A\setminus U)}$ і ${\displaystyle i_{*}(z)\in B(X,A).}$ Тоді z як сума сингулярних симплексів у ${\displaystyle X}$ є рівною ${\displaystyle \partial x+y,}$ де ${\displaystyle x\in S_{n+1}(X),\ y\in S_{n}(A).}$ Нехай для r елемент ${\displaystyle \psi ^{r}(x)}$ є лінійною комбінацією сингулярних сиплексів образи яких є у ${\displaystyle A}$ або ${\displaystyle X\setminus U,}$ тобто ${\displaystyle \psi ^{r}(x)=a+b,}$ де ${\displaystyle a\in S_{n+1}(A),\ b\in S_{n+1}(X\setminus U).}$

Тому ${\displaystyle \psi ^{r}(z)=\psi ^{r}(\partial x)+\psi ^{r}(y)}$ і ${\displaystyle \psi ^{r}(z)-\partial b=\partial a+\psi ^{r}(y).}$

Але ${\displaystyle \psi ^{r}(z)-\partial b\in S_{n}(X\setminus U)}$ і ${\displaystyle \partial a+\psi ^{r}(y)\in S_{n}(A)}$ тому ці елементи належать ${\displaystyle S_{n}(A\setminus U).}$ Як наслідок ${\displaystyle \psi ^{r}(z)=\partial b+(\partial a+\psi ^{r}(y))}$ належить ${\displaystyle B_{n}(X\setminus U,A\setminus U)}$ і тому ${\displaystyle \psi ^{r}(z)}$ і тому z є представником нульового елемента у ${\displaystyle H_{n}(X\setminus U,A\setminus U).}$ Тому ${\displaystyle i_{*}:H_{n}(X\setminus U,A\setminus U)\to H_{n}(X,A)}$ є ін'єктивним відображенням.

• Ланцюгова гомотопія
• Лема Лебега
• Сингулярні гомології

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0..
• Maunder, Charles Richard Francis (1980). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 9780521231619.
• Vick, James W. (1994). Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics 145. Springer. ISBN 9780387941264.