Симпліціальна гомологія

Ключовим поняттям у означенні симпліціальної гомології є поняття орієнтації симплексу. За означенням орієнтація k-симплекса задається впорядкуванням вершин, записаних як [v₀,...,v_k], з правилом, що два впорядкування визначають одну і ту ж орієнтацію, якщо і тільки якщо вони відрізняються парною перестановкою. Таким чином, кожен симплекс має рівно дві орієнтації, а зміна порядку двох вершин змінює орієнтацію на протилежну. Наприклад, вибір орієнтації 1-симплекса означає вибір одного з двох можливих напрямків, а вибір орієнтації 2-симплексу означає вибір того, що має означати "проти годинникової стрілки".

Нехай S — симпліціальний комплекс. Симпліціальним k-ланцюгом називається скінченна формальна сума

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\sigma _{i},}$

де кожне c_i є цілим числом, а σ_i — орієнтованим k-симплексом. При цьому вважається, що кожен орієнтований симплекс дорівнює симплексу з протилежною орієнтацією із знаком мінус. Наприклад,

${\displaystyle [v_{0},v_{1}]=-[v_{1},v_{0}].}$

Група k-ланцюгів на S записується як C_k. Вона є вільною абелевою групою, базисом якої є множина k-симплексів у S. При цьому потрібно вибрати орієнтацію кожного симплекса. Одним із стандартних способів цього є вибір упорядкування всіх вершин і надання кожному симплексу орієнтації, що відповідає індукованому впорядкуванню його вершин.

Нехай σ = [v₀,...,v_k] — орієнтований k-cимплекс, що розглядається як базисний елемент C_k. Граничним оператором

${\displaystyle \partial _{k}:C_{k}\rightarrow C_{k-1}}$

називається гомоморфізм рівний за означенням:

${\displaystyle \partial _{k}(\sigma )=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}[v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k}],}$

де орієнтований симплекс

${\displaystyle [v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k}]}$

є i-ою гранню симплекса σ, отриманою шляхом видалення її i-ї вершини.

В групі ${\displaystyle C_{k}}$ — елементи підгрупи

${\displaystyle Z_{k}=\ker \partial _{k}}$

називаються циклами, а елементи підгрупи

${\displaystyle B_{k}=\operatorname {im} \partial _{k+1}}$

границями.

Пряме обчислення показує, що ∂² = 0. З геометричної точки зору це означає, що, що границя чого-небудь не має границі. Еквівалентно абелеві групи

${\displaystyle (C_{k},\partial _{k})}$

утворюють ланцюговий комплекс. Іншим еквівалентним твердженням є те, що ${\displaystyle B_{k}}$ є підмножиною ${\displaystyle Z_{k}}$.

Група гомології порядку k для простору S (позначається як ${\displaystyle H_{k}(S)}$) за означенням є факторгрупою

${\displaystyle H_{k}(S)=Z_{k}/B_{k}\,.}$

Зокрема ${\displaystyle H_{k}(S)}$ є ненульовою тоді, коли на S є k-цикли, які не є границями. У певному сенсі це означає, що в комплексі є k-вимірні пустоти.

Наприклад, розглянемо простір S, отриманий склеюванням двох границь трикутників уздовж однієї сторони. Сторони кожного трикутника можна орієнтувати так, щоб утворився цикл. Ці два цикли за побудовою не є границями (оскільки кожен 2-ланцюг є рівним нулю). Можна обчислити, що група гомології ${\displaystyle H_{2}(S)}$ є ізоморфною ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2},}$ і базовими елементами є два згадані цикли. Цей результат можна вважати чіткою формалізацією твердження про те, що у S є дві "одновимірні діри".

Загалом ранг k-ї групи гомології, тобто число

${\displaystyle \beta _{k}=\operatorname {rank} (H_{k}(S))}$

називається k-м числом Бетті простору S. Він в певному сенсі є мірою кількості k-вимірних пустот у S.

Нехай S — границя трикутника, що розглядається як симпліціальний комплекс. Таким чином, S має три вершини ${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2}}$ і три ребра, які є одновимірними симплексами. Для обчислення гомологічних груп простору S почнемо з опису ланцюгових груп ${\displaystyle C_{k}}$. А саме, ${\displaystyle C_{0}}$ є ізоморфною ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{3}}$ з породжуючою множиною ${\displaystyle [v_{0}],[v_{1}],[v_{2}],\ }$ а ${\displaystyle C_{1}}$ є ізоморфною ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{3}}$ і базисними елементами є орієнтовані 1-симплекси ${\displaystyle [v_{0},v_{1}],[v_{0},v_{2}]}$ і ${\displaystyle [v_{1},v_{2}].}$ Ланцюгові групи розмірності 2 і більше є тривіальними.

Граничний гомоморфізм ∂: C₁ → C₀ задається як:

${\displaystyle \partial [v_{0},v_{1}]=[v_{1}]-[v_{0}]}$

${\displaystyle \partial [v_{0},v_{2}]=[v_{2}]-[v_{0}]}$

${\displaystyle \partial [v_{1},v_{2}]=[v_{2}]-[v_{1}]}$

Оскільки група ${\displaystyle C_{-1}}$ є тривіальною, кожен 0-ланцюг є циклом (тобто ${\displaystyle Z_{0}=C_{0}}$). Натомість підгрупа 0-границь породжується трьома елементами праворуч цих рівнянь, утворюючи двовимірну підгрупу у ${\displaystyle C_{0}}$. Отже, 0-група гомології ${\displaystyle H_{0}(S)=Z_{0}/B_{0}\,}$ є ізоморфною ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, де базовим елементом можна взяти, наприклад 0-цикл ${\displaystyle [v_{0}].}$

Група 1-циклів є ядром ​​гомоморфізму ∂, яке є ізоморфним Z , з базовим елементом (наприклад) ${\displaystyle [v_{0},v_{1}]-[v_{0},v_{2}]+[v_{1},v_{2}].}$ (Зображення показує, що цей 1-цикл обходить навколо трикутника в одному з двох можливих напрямків.) Оскільки ${\displaystyle C_{2}=0,}$ то підгрупа 1-границь є тривіальною, і тому гомологічна група ${\displaystyle H_{1}(S)\,}$ є ізоморфною ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Групи гомологій ${\displaystyle H_{i}(S)\,}$ для i, що не дорівнює 0 або 1 є тривіальними.

Нехай S і T — симпліціальні комплекси. Симпліціальним відображенням f із S у T називається функція із множини вершин комплекса S у множину вершин комплекса T, така що образ множини вершин будь-якого симплексу в S є множина вершин симплекса у T. Симпліціальне відображення f: S → T задає гомоморфізм груп гомології H_k(S) → H_k(T) для кожного цілого k. Цей гомоморфізм, пов'язаний із ланцюговим відображенням із ланцюгового комплексу S у ланцюговий комплекс T. Явно це ланцюгове відображення задається на k-ланцюгах як

${\displaystyle f((v_{0},\ldots ,v_{k}))=(f(v_{0}),\ldots ,f(v_{k}))}$

якщо f(v₀), ..., f(v_k) є різними вершинами у T і f((v₀, ..., v_k)) = 0 в іншому випадку.

Ця конструкція робить симпліціальну гомологію функтором із категорії симпліціальних комплексів у категорію абелевих груп. Це важливо для застосувань теорії, включаючи теорему Брауера про нерухому точку та топологічну інваріантність симпліціальної гомології.

Стандартними даними у багатьох комп'ютерних програмах є набір точок (вимірювання, темні пікселі в бітовій карті тощо), в яких необхідно знайти топологічну особливість. Гомологія може бути інструментом пошуку такої ознаки, оскільки вона легко піддається обчисленню на основі комбінаторних даних, таких як симпліціальний комплекс. Однак спершу необхідно здійснити триангуляцію, тобто дані замінюють симпліціальним наближенням. Розрахунок симпліціальної гомології[4] включає аналіз гомології при різних розширеннях і реєстрацію класів гомології, які зберігаються при зміні роздільної здатності. Такі особливості можна використовувати для виявлення структур молекул, пухлин на рентгенограмах та кластерних структур у складних даних.

Більш загально, симпліціальна гомологія відіграє центральну роль в топологічному аналізі даних, техніці в галузі аналізу даних.

• Симпліціальний комплекс
• Сингулярні гомології
• Симпліціальна сфера

• Armstrong, M. A. (1983). Basic topology. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90839-0. MR 0705632.
• Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. MR 1867354.
• Prasolov, V. V. (2006). Elements of combinatorial and differential topology. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3809-1. MR 2233951.