Тотожність Якобі

Наступні операції задовольняють тотожність Якобі:

• Комутатор операторів
• Комутатор в алгебрі Лі
• Дужки Лі векторних полів
• Дужки Пуассона функцій на симплектичному многовиді
• Векторний добуток векторів

Якщо множення ${\displaystyle [{\dot {,}}\cdot ]}$ є антикоммутативним ${\displaystyle ([x,y]=-[y,x])}$, то тотожності Якобі можна надати дещо інший вигляд, використовуючи приєднане представлення алгебри Лі :

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\colon y\mapsto [x,y]}$

Записавши тотожність Якобі у формі

${\displaystyle [x,[y,z]]=[y,[x,z]]+[[x,y],z]}$

отримаємо, що воно рівносильне умові виконання правила Лейбніца для оператора ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$ :

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\,[y,z]=[\mathrm {ad} _{x}\,y,z]+[y,\mathrm {ad} _{x}\,z]}$

Таким чином, ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$ — диференціювання в алгебрі Лі. Будь—яке таке диференціювання називається внутрішнім. Тотожності Якобі також можна надати вигляду

${\displaystyle \mathrm {ad} _{[x,y]}=[\mathrm {ad} _{x},\mathrm {ad} _{y}]=\mathrm {ad} _{x}\mathrm {ad} _{y}-\mathrm {ad} _{y}\mathrm {ad} _{x}}$

Це означає, що оператор ${\displaystyle \mathrm {ad} }$ задає гомоморфізм даної алгебри Лі в алгебру Лі її диференціювань.

Нехай ${\displaystyle \omega =\oplus _{i}\omega ^{i}}$ — градуйована алгебра, ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ — множення в ній. Кажуть, що множення в ${\displaystyle \Omega }$ задовольняє градуйованій тотожності Якобі, якщо для будь—яких елементів ${\displaystyle \omega _{i}\in \omega ^{i}}$

${\displaystyle [\omega _{m},[\omega _{k},\omega _{l}]=[[\omega _{m},\omega _{k}],\omega _{l}]+(-1)^{mk}[\omega _{k},[\omega _{m},\omega _{l}]}$

• Weisstein, Eric W. Jacobi Identities(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.