Точний функтор

Нехай ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Q}$ — абелеві категорії і ${\displaystyle F:P\to Q}$ — адитивний функтор. Розглянемо довільну коротку точну послідовність:

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

об'єктів ${\displaystyle P}$.

Якщо ${\displaystyle F}$ — коваріантний функтор, ${\displaystyle F}$ називається:

• Напівточним, якщо ${\displaystyle F(A)\to F(B)\to F(C)}$ є точною послідовністю;
• Точним зліва, якщо ${\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)}$ є точною послідовністю;
• Точним справа, якщо ${\displaystyle F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0}$ є точною послідовністю;
• Точним, якщо ${\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0}$ є точною послідовністю.

Якщо ${\displaystyle G}$ — контраваріантний функтор з ${\displaystyle P}$ в ${\displaystyle Q}$, то ${\displaystyle G}$ називається:

• Напівточним, якщо ${\displaystyle G(C)\to G(B)\to G(A)}$ є точною послідовністю;
• Точним зліва, якщо ${\displaystyle 0\to G(C)\to G(B)\to G(A)}$ є точною послідовністю;
• Точним справа, якщо ${\displaystyle G(C)\to G(B)\to G(A)\to 0}$ є точною послідовністю;
• Точним, якщо ${\displaystyle 0\to G(C)\to G(B)\to G(A)\to 0}$ є точною послідовністю.

Не обов'язково брати в якості вихідної послідовність саме такого виду; наприклад, точний функтор можна визначити як функтор, що переводить точні послідовності виду ${\displaystyle A\to B\to C}$ в точні послідовності.

Існує також більш загальне означення яке вводить поняття точних функторів для більш загальних категорій, не обов'язково абелевих: коваріантний функтор точний зліва тоді і тільки тоді, коли він переводить скінченні границі в границі. При заміні слова «коваріантний» на «контраваріантний» або «зліва» на «справа» потрібно одночасно замінити «границі» на «кограниці». Точний функтор — функтор, точний зліва і справа.

• Будь-яка еквівалентність абелевих категорій є точним функтором.
• Найбільш важливий приклад точного зліва функтора — функтор Hom. Якщо ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ — довільна локально мала абелева категорія і ${\displaystyle A}$ — її об'єкт, то ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(A,X)}$ — коваріантний адитивний функтор в категорію абелевих груп [1]. Цей функтор є точним тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle A}$ є проективним модулем. Відповідно, контраваріантний функтор ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(X,A)}$ є точним тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle A}$ є ін'ективним модулем.
• Нехай ${\displaystyle k}$ є полем і ${\displaystyle V}$ — векторним простором над ${\displaystyle k}$. Функтор, що ставить векторному простору у відповідність його спряжений простір ${\displaystyle V^{*}=\mathrm {Hom} _{k}(V,k)}$ є контраваріантним точним функтором з категорії ${\displaystyle k}$-векторних просторів у себе (оскільки ${\displaystyle k}$ є ін'єктивним ${\displaystyle k}$-модулем).
• Нехай ${\displaystyle X}$ — топологічний простір і розглянемо абелеву категорію всіх пучків абелевих груп на ${\displaystyle X}$. Функтор, що ставить у відповідність кожному такому пучку ${\displaystyle F}$ групу глобальних перетинів ${\displaystyle F(X)}$ є точним зліва.
• Якщо ${\displaystyle T}$ — правий ${\displaystyle R}$-модуль, то можливо визначити функтор ${\displaystyle H_{T}}$ з категорії лівих ${\displaystyle R}$-модулів в ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ за допомогою тензорного добутку ${\displaystyle R:H_{T}(X)=T\otimes X}$. Цей функтор є точним справа; він є точним тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle T}$ — плоский модуль.
• Нехай ${\displaystyle R}$ — комутативне кільце, ${\displaystyle S}$ — його мультиплікативна підмножина. Функтор, що кожному ${\displaystyle R}$-модулю ${\displaystyle M}$ ставить у відповідність модуль часток ${\displaystyle M_{S}}$ є точним функтором із категорії ${\displaystyle R}$-модулів у категорію ${\displaystyle R_{S}}$-модулів.

• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra 2 (вид. 2nd). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.