Ультрафінітизм

Як і інші різновиди фінітизму, ультрафінітизм заперечує існування нескінченної множини N of натуральних чисел. Також прихильники ультрафінітизму ставлять під сумнів такі математичні об'єкти, які не можна сконструювати «практично», через фізичні чи часові обмеження — передусім, це дуже великі числа. Наприклад, функції floor від першого числа Ск'юза, результатом якого є дуже велике число, визначене через експоненту експоненти: exp(exp(exp(79))), або

${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}.}$

Досі ніхто не обчислив результат функції floor (натуральне число) від цього дійсного числа, і цілком вірогідно, що таке обчислення неможливо здійснити фізично. Так само ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 6}$ (у нотації Кнута) може вважатися лише формальним виразом, що не відповідає ніякому натуральному числу. Тип ультрафінітизму, що займається можливостями фізичних обчислень у математиці, часто називається^[ким?] актуалізмом.

Едвард Нельсон критикував класичну концепцію натуральних чисел через циркулярність їх означення. У класичній математиці натуральні числа означаються як 0 і числа, одержані ітеративним застосуванням функції «наступне число» (англ. successor function), починаючи з нуля. Але у такій ітерації вже присутнє поняття натурального числа. Інтими словами, для того, щоб отримати число ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 6}$, потрібно застосувати функцію-наступник ітеративно саме ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 6}$ разів, починаючи з нуля.

Деякі версії ультрафінітизму є формами конструктивізму, втім, більшість конструктивістів^[хто?] розглядають цю філософію як занадто екстремальну. Логічні засади ультрафінітизму неясні: наприклад, логік-конструктивіст Анне С'єрп Трьолстра у своїй роботі Конструктивізм у математиці (1988) відкинула ультрафінітизм, зазначивши, що «на даний момент відсутній більш-менш задовільний його розвиток».[3] Втім, це не було філософським запереченням напрямку як такого, радше констатація факту, що у серйозних роботах з математичної логіки немає чого-небудь конкретного і точного з даного питання.

Починаючи з 1959 року серйозні дослідження на тему ультрафінітизму велися Олександром Єсеніним-Вольпіном, який у 1961 році окреслив програму з доведення консистентності теорії множин Цермело — Френкеля в ультрафінітній математиці. З інших математиків, що працювали у даній галузі, можна відзначити Дорон Цайльбергер, Едвард Нельсон, Рогіт Джіванлал Паріх, і Жан-Пол ван Бендеґем. Філософія також інколи асоціюється з поглядами Людвіга Вітгенштайна, Робіна Ґенді, Петра Вопенки і Йоганнеса Єлмслева.

Shaughan Lavine розробив варіант ультрафінітизму на основі теорії множин, що не суперечить класичній математиці.[4] Лавіне показав, що основні принципи арифметики, такі як «не існує найбільшого натурального числа», можуть бути збережені: Лавіне дозволяє включення^[Куди?] «необмежено великих чисел».[4]

Інші ідеї щодо уникнення екстремально великих чисел базуються, наприклад, на основі теорії складності обчислень. Таким шляхом йде, зокрема, Андраш Корнай у своїх роботах з явного фінітизму (який не заперечує існування великих чисел)[5], а також Володимир Сазонов з його поняттям «допустимого числа».[6]

Суттєвий формальний розвиток отримали такі варіанти ультрафінітизму, засновані на теорії складності обчислень, як теорія Bounded arithmetic Семюеля Басcа (англ. Samuel Buss), що охоплює математику, пов'язану з різними класами складності (такими, як P і PSPACE). Роботи Басса можна вважати продовженням досліджень Едварда Нельсона з предикативної арифметики: теорії bounded arithmetic, такі як S12, інтерпретуються у арифметиці Робінсона, і таким чином є «предикативними» у тому сенсі, як це розуміє Нельсон. Потужність даних теорій вивчається у bounded reverse mathematics, зокрема такі дослідження можна знайти у роботах Стівена Кука і Пхуонга Нгуєна. Втім, ці вчені не є філософами математики, вони радше вивчають окремі випадки умовиводів, як у оберненій математиці.

• Трансобчислювальна задача

• Ésénine-Volpine, A. S. (1961). Le programme ultra-intuitionniste des fondements des mathématiques. Infinitistic Methods (Proc. Sympos. Foundations of Math., Warsaw, 1959). Oxford: Pergamon. с. 201–223. MR 0147389. Reviewed by Kreisel, G.; Ehrenfeucht, A. (1967). Review of Le Programme Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques by A. S. Ésénine-Volpine. The Journal of Symbolic Logic (Association for Symbolic Logic) 32 (4): 517. JSTOR 2270182. doi:10.2307/2270182.
• Lavine, S. (1994). Understanding the Infinite (англ.). Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Andras Kornai (February 2003). Explicit finitism. International Journal of Theoretical Physics (англ.) 42: 301–307. ISSN 0020-7748. Проігноровано невідомий параметр |eissn= (довідка)
• Doron Zeilberger. "Real" Analysis Is A Degenerate Case Of Discrete Analysis.
• Discussion on formal foundations. MathOverflow.
• A. S. Troelstra. History of constructivism in the 20th century.
• Edward Nelson. Predicative Arithmetic.
• Stephen A. Cook; Phuong The Nguyen. Logical Foundations of Proof Complexity (англ.).
• Phuong The Nguyen. Bounded Reverse Mathematics (англ.).
• Charles Petzold. Reading Brian Rotman's «Ad Infinitum…» (англ.).
• Computational Complexity Theory. Стенфордський університет.