Форма Кіллінга

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — скінченновимірна алгебра Лі над полем ${\displaystyle K}$. Кожен елемент ${\displaystyle x}$ з ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ визначає ендоморфізм ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\colon z\mapsto [x,z],}$

де ${\displaystyle [{*},{*}]}$ — дужка Лі. Тоді слід композиції таких ендоморфізмів визначає симетричну білінійну форму

${\displaystyle B(x,y)=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{y})}$

зі значеннями в полі ${\displaystyle K}$. Ця форма ${\displaystyle B}$ називається формою Кіллінга на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

• Форма Кіллінга є білінійною і симетричною.

Білінійність випливає з того, що ${\displaystyle [x+y,z]=[x,z]+[y,z]}$ і, відповідно ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x+y}=\mathrm {ad} _{x}+\mathrm {ad} _{y}}$, а також з того що ${\displaystyle \mathrm {trace} ((A+B)\circ C)=\mathrm {trace} (A\circ C)+\mathrm {trace} (B\circ C)}$ і ${\displaystyle \mathrm {trace} (A\circ (B+C))=\mathrm {trace} (A\circ B)+\mathrm {trace} (A\circ C),}$ для довільних ендоморфізмів A, B, C.

Симетричність випливає з того, що ${\displaystyle \mathrm {trace} (A\circ B)=\mathrm {trace} (B\circ A)}$ для довільних ендоморфізмів A, B.

• Форма Кіллінга є інваріантною формою, тобто

  ${\displaystyle B([x,y],z)=B(x,[y,z]),}$

Де ${\displaystyle [{*},{*}]}$ — дужка Лі.

З визначень і рівності Якобі одержується рівність ${\displaystyle \mathrm {ad} _{[x,y]}(z)=[[x,y],z]=[x,[y,z]]-[y,[x,z]]=\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{y}(z)-\mathrm {ad} _{y}\circ \mathrm {ad} _{x}(z)}$

Звідси ${\displaystyle B([x,y],z)=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{y}\circ \mathrm {ad} _{z})-\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{y}\circ \mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{z})=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{y}\circ \mathrm {ad} _{z})-\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{z}\circ \mathrm {ad} _{y})=B(x,[y,z]).}$

• Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є простою алгеброю Лі, то будь-яка інваріантна симетрична білінійна форма на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ пропорційна формі Кіллінга.
• Форма Кіллінга також є інваріантною щодо автоморфізмів алгебри Лі, тобто

  ${\displaystyle B(\phi (x),\phi (y))=B(x,y)}$

Де ${\displaystyle \phi \in Aut({\mathfrak {g}})}$.

* Зокрема, лівоінваріантне поле форм на відповідній групі Лі, що збігається з ${\displaystyle B}$ в одиниці, є також правоінваріантним, і відповідно біінваріантним.

З визначення автоморфізмів алгебр Лі ${\displaystyle \phi \circ \mathrm {ad} _{x}=\mathrm {ad} _{\phi (x)}\circ \phi }$ і відповідно ${\displaystyle \mathrm {ad} _{\phi (x)}=\phi \circ \mathrm {ad} _{x}\circ \phi ^{-1}.}$ З інваріантності сліду для подібних ендоморфізмів одержується інваріантність форми Кіллінга.

• Згідно критерію Картана, алгебра Лі є напівпростою тоді і тільки тоді, коли її форма Кіллінга є невиродженою.
• Форма Кіллінга нільпотентної алгебри є тотожним нулем. Більш загально через форму Кілліна також можна дати означення розв'язної алгебри Лі.
• Якщо ${\displaystyle I}$ і ${\displaystyle J}$ — два ідеали в алгебрі Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ з нульовим перетином, тоді ${\displaystyle I}$ і ${\displaystyle J}$ утворюють ортогональні підпростори по відношенню до форми Кіллінга.
• Ортогональне доповнення щодо ідеалу по відношенню до форми Кіллінга також є ідеалом.
• Якщо алгебра Лі є прямою сумою своїх ідеалів, то її форма Кіллінга є прямою сумою форм Кіллінга на окремих доданків.

• Оператор Казиміра