Форма Кіллінга

Форма Кіллінга — симетрична білінійна форма на алгебрі Лі певного типу.

Визначення

Нехай — скінченновимірна алгебра Лі над полем . Кожен елемент з визначає ендоморфізм

де дужка Лі. Тоді слід композиції таких ендоморфізмів визначає симетричну білінійну форму

зі значеннями в полі . Ця форма називається формою Кіллінга на .

Властивості

  • Форма Кіллінга є білінійною і симетричною.
Білінійність випливає з того, що і, відповідно , а також з того що і для довільних ендоморфізмів A, B, C.
Симетричність випливає з того, що для довільних ендоморфізмів A, B.
  • Форма Кіллінга є інваріантною формою, тобто
Де дужка Лі.
З визначень і рівності Якобі одержується рівність
Звідси
  • Якщо є простою алгеброю Лі, то будь-яка інваріантна симетрична білінійна форма на пропорційна формі Кіллінга.
  • Форма Кіллінга також є інваріантною щодо автоморфізмів алгебри Лі, тобто
Де .
* Зокрема, лівоінваріантне поле форм на відповідній групі Лі, що збігається з в одиниці, є також правоінваріантним, і відповідно біінваріантним.
З визначення автоморфізмів алгебр Лі і відповідно З інваріантності сліду для подібних ендоморфізмів одержується інваріантність форми Кіллінга.
  • Згідно критерію Картана, алгебра Лі є напівпростою тоді і тільки тоді, коли її форма Кіллінга є невиродженою.
  • Форма Кіллінга нільпотентної алгебри є тотожним нулем. Більш загально через форму Кілліна також можна дати означення розв'язної алгебри Лі.
  • Якщо і — два ідеали в алгебрі Лі з нульовим перетином, тоді і утворюють ортогональні підпростори по відношенню до форми Кіллінга.
  • Ортогональне доповнення щодо ідеалу по відношенню до форми Кіллінга також є ідеалом.
  • Якщо алгебра Лі є прямою сумою своїх ідеалів, то її форма Кіллінга є прямою сумою форм Кіллінга на окремих доданків.

Див. також

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.