Оператор Казиміра

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — ${\displaystyle n}$-вимірна напівпроста алгебра Лі. Нехай ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}}$ — будь-який базис ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, а ${\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n}}$ — дуальний базис, по відношенню до фіксованої інваріантної білінійної форми (наприклад, формі Кіллінга) на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Елемент Казиміра ${\displaystyle \Omega }$ — це елемент універсальної згортаючої алгебри, що визначається формулою

${\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.}$

Попри те, що визначення елементу Казиміра відноситься до конкретного вибору базису в алгебрі Лі, легко показати, що отриманий елемент ${\displaystyle \Omega }$ не залежить від цього вибору. Більше того, інваріантність білінійної форми, що була використана у визначенні, має на увазі, що елемент Казиміра комутує з усіма елементами алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, і, відповідно, лежить в центрі універсальної згортаючої алгебри ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$

Будь-якому представленню ${\displaystyle \rho }$ алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ у векторному просторі V, можливо нескінченновимірному, відповідає інваріант Казиміра ${\displaystyle \rho (\Omega )}$, лінійний оператор у V, що задається формулою

${\displaystyle \rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).}$

Частинний випадок даної конструкції грає важливу роль в диференціальній геометрії і загальному аналізі. Якщо зв'язана група Лі G з алгеброю Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ діють на диференційовному многовиді M, то елементи ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ представляються диференціальними операторами першого порядку на M. Представлення ${\displaystyle \rho }$ діє у просторі гладких функцій на M. В такій ситуації інваріант Казиміра — це G-інваріантний диференціальний оператор другого порядку на M, що визначається з вищеприведеної формули.

Можуть бути визначені також загальніші інваріанти Казиміра. Зазвичай вони зустрічатьються при вивченні псевдо-диференціальних операторів і теорії Фредгольма.

Оператор Казиміра — це член алгебри всіх диференціальних операторів, що комутують з усіма генераторами в алгебрі Лі.

Число незалежних елементів центру універсальної згортаючої алгебри також є рангом у випадку напівпростої алгебри Лі. Оператор Казиміра дає поняття Лапласіана на загальних напівпростих групах Лі; але такий шлях показує, що може існувати не єдиний аналог Лапласіана, для рангу >1.

За визначенням, будь-який член центру універсальної згортаючої алгебри комутує з усіма іншими елементами в алгебрі. Відповідно до леми Шура в довільному незвідному представленні алгебри Лі оператор Казимира є пропорційним до тотожності. Цей коефіцієнт пропорційності може бути використаний для класифікації представлень алгебри Лі (а, відповідно, також її групи Лі). Фізична маса і спін — приклади таких коефіцієнтів, як і багато інших квантових чисел, що використовуються в квантовій механіці. Зовнішньо, топологічні квантові числа являють собою винятки з цієї моделі, хоча більш глибокі теорії наводять на думку, що це дві грані одного явища.

Алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ відповідає SO(3), групі обертів 3-вимірного евклідового простору. Вона є напівпростою рангу 1 і тому має єдиний незалежний інваріант Казиміра. Форма Кіллінга для групи обертів — це лише символ Кронекера, а інваріант Казиміра — просто сума квадратів генераторів ${\displaystyle L_{x},\,L_{y},\,L_{z}}$ даної алгебри. Тобто, інваріант Казиміра задається формулою

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.}$

В незвідному представленні, інваріантність оператора Казиміра припускає його кратність одиничному елементу e алгебри, так що

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)e.}$

У квантовій механіці, скалярне значення ${\displaystyle \ell }$ відноситься до повного моменту кількості руху. Для скінченновимірних матричнозначних представлень групи обертань, ${\displaystyle \ell }$ завжди ціле (для бозонних представлень) або напівцілим (для ферміонних представлень).

Для даного числа ${\displaystyle \ell }$, матричне представлення ${\displaystyle (2\ell +1)}$-вимірне. Так, наприклад, 3-вимірне представлення so(3) відповідає ${\displaystyle \ell \,=\,1}$, і задається генераторами

${\displaystyle L_{x}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}},L_{y}={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},L_{z}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.}$

Тоді інваріант Казиміра:

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},}$

оскільки ${\displaystyle \ell (\ell +1)\,=\,2}$ при ${\displaystyle \ell \,=\,1}$. Таким самим чином 2-вимірне представлення має базис, що задається матрицями Паулі, які відповідають спіну 1/2.

Враховуючи, що ${\displaystyle \Omega }$ займає центральне місце в згортаючій алгебрі, вона діє скаляром на прості модулі. Нехай ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ буде нашою білінійною симетричною невиродженою формою, за допомогою якої ми визначаємо ${\displaystyle \Omega }$. Нехай ${\displaystyle L(\lambda )}$ буде скінченновимірним модулем найбільшого значення, вагою ${\displaystyle \lambda }$. Тоді елемент Казиміра ${\displaystyle \Omega }$ діє на ${\displaystyle L(\lambda )}$ на відміну від ${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle ,}$ де ${\displaystyle \rho }$ визначається як півсума додатних коренів.

• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. — Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. — New York : Springer-Verlag, 1978. — ISBN 5-9221-0055-6.