Формула Іто

Найпростіше формулювання леми Іто: для дифузійного процесу

${\displaystyle dX_{t}=\sigma _{t}\,dB_{t}+\mu _{t}\,dt}$

де ${\displaystyle dB_{t}\,}$ — диференціал Вінерівського процесу. Виразом ${\displaystyle (dB_{t})^{2}\,}$ не можна знехтувати у розкладі Тейлора, він еквівалентний ${\displaystyle dt\,}$, тоді як ${\displaystyle (dB_{t})^{3}\approx dB_{t}dt\approx (dt)^{\frac {3}{2}}}$ так само як і ${\displaystyle (dt)^{2}\,}$ зануляється і ними можна знехтувати. Тому для двічі неперервно-диференційовної функції ƒ(t, x) (тобто для цієї функції визначені перша і друга частинні похідні) від двох дійсних параметрів t і x, використовуючи розклад Тейлора

${\displaystyle {\begin{aligned}df(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}(dt)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t\partial x}}dtdx+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}\right)+\cdots \end{aligned}}}$

використовуючи позначення

${\displaystyle f'(t,x)={\frac {\partial f}{\partial x}}(t,x),\quad f''(t,x)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(t,x),\quad {\dot {f}}(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x)}$

і замінюючи ${\displaystyle dx\,}$ на ${\displaystyle \sigma _{t}\,dB_{t}+\mu _{t}\,dt}$, отримуємо

${\displaystyle {\begin{aligned}df(t,X_{t})&={\dot {f}}(t,X_{t})\,dt+f'(t,X_{t})(\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t})+{\frac {1}{2}}f''(t,X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt=\\&=\left({\dot {f}}(t,X_{t})+\mu _{t}f'(t,X_{t})+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}f''(t,X_{t})\right)dt+f'(t,X_{t})\sigma _{t}\,dB_{t}\end{aligned}}}$

Багатовимірний варіант,

${\displaystyle df\left(t,X_{t}\right)={\dot {f}}_{t}\left(t,X_{t}\right)dt+\nabla _{X_{t}}^{T}f\cdot dX_{t}+{\frac {1}{2}}dX_{t}^{T}\cdot \nabla _{X_{t}}^{2}f\cdot dX_{t}}$

де ${\displaystyle X_{t}=\left(X_{t,1},X_{t,2},\cdots ,X_{t,n}\right)^{T}}$ — вектор дифузійних процесів, ${\displaystyle {\dot {f}}_{t}\left(t,X\right)}$ — частинна похідна по t, ${\displaystyle \nabla _{X}^{T}f}$ — градієнт функції ƒ по X, і ${\displaystyle \nabla _{X}^{2}f}$ — матриця Гессе функції ƒ по X.

Більш загально формула Іто виконується для будь-якого неперервного d-вимірного напівмартингалу X = (X¹,X²,…,X^d), і двічі неперервно-диференційовної і дійснозначної функції f в R^d.

Іноді формулу презентують з перехресною варіацією наступним чином, f(X) напівмартингал, що задовольняє формулу Іто

${\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{ij}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.}$

В цьому виразі f_i — частинна похідна функції f(x) по xⁱ, і [Xⁱ,X^j ] — квадратична варіація процесів Xⁱ і X^j.

Лема Іто може бути застосована до загальних d-вимірних напівмартингалів, які можуть бути розривними. Взагалі напівмартингали — це càdlàg-процес (неперервний справа процес, що має лівосторонні границі), і тому додатковий одночлен необхідний для того щоб стрибки процесу були враховані лемою Іто.

Для довільного càdlàg-процесу Y_t, лівостороння границя в точці t позначається Y_t- і цей процес є неперервним зліва процесом. Стрибки записують як ΔY_t = Y_t - Y_t-. Тоді лема Іто стверджує: якщо X = (X¹,X²,…,X^d) — d-вимірний напівмартингал і f двічі неперервно диференційовна дійсно-значна функція на R^d тоді f(X) — напівмартингал, і

${\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t})=&f(X_{0})+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}(X_{s-})\,dX_{s}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^{i},X^{j}]_{s}\\&{}+\sum _{s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}\,\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}}$

Ця формула відрізняється від випадку неперервних напівмартингалів додатковою сумою по стрибках X, що забезпечує рівність стрибка правої частини тотожності ( в час t) стрибку лівої частини Δf(X_t).